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者颇为同情，因此当农民军进入福建后烧官府、杀官吏，但凡自称为儒者的皆释而不问。当义军经过崇文馆校书郎黄璞门前时即下令说“此儒者，灭炬弗焚。”
乾符六年（879）正月，黄巢军遭藩帅高骈部将张璘、梁缵的袭击，一再失利，遂进入广南，包围了广州（今属广东）。在此期间，黄巢曾致书浙东观察使崔璆、岭南东道节度使李迢，求为天平节度使。二人惧怕黄巢威势，极力申奏，但朝廷不许；黄巢自己上书，求为广州节度使，却只授予率府率。黄巢恼怒，大骂执政，便急攻广州，遂于九月占领了岭南的这个重镇，杀节度使李迢，并进而攻占岭南一些州县。
黄巢在广州自称“义军都统”，并发布檄文，斥责朝廷“宦竖柄朝，垢蠹纪纲，指诸臣与中人赂遗交构状，铨贡失才”，提出“禁刺史殖财产，县令犯赃者族”，檄文所说，史称“皆当时极敝”。
黄巢军已转战各地多年，这次占领广州，“欲据南海之地，永为巢穴”，作为反抗唐朝统治的根据地。但在这一年，从春至夏，疫病大为流行，不少义军将士染上了疫病，“死者十三四”，部下又多“劝请北归，以图大利”。黄巢见在广州难以持久，于是决定杀回中原地区。
同年十月，黄巢率军离开广州，向西北进发，攻取了桂州（治今广西桂林），恰遇湘江水暴涨，义军便乘数十只大木筏顺流而下，经永州（治今湖南零陵）、衡州（治今湖南衡阳），攻占了潭州（治今湖南长沙）。之后，尚让乘胜进攻江陵（今属湖北），号称五十万。荆南节度使王铎见义军声势浩大，诸道兵又未赶到，以为江陵兵少难以固守，便退守襄阳。尚让攻克了江陵后即与黄巢合兵进攻襄阳，但在荆门中了埋伏，被官军击败，损失甚大。黄巢收集余众，稍加休整，遂渡过长江进攻鄂州（治今湖北武汉），攻破了外城。之后，又转而进攻饶、信、池、宣、歙、杭等十五州。这时黄巢军又得以发展，“众至二十万”。
黄巢在江浙一带的胜利进军再次震撼了唐廷，唐僖宗一面任命淮南节度使高骈为诸道行营都统，命他迅速进攻义军，同时征调昭义、感化、义武诸道兵南下，与高骈协力作战。广明元年（880）三月，高骈遣其将张璘渡江南下，黄巢军连战失利，退守饶州（治今江西波阳）。张璘又乘胜进军，五月， 《资治通鉴》卷二五三，僖宗乾符六年。
黄巢又退守信州（治今江西上饶）。这时北方诸道军已兵临淮南，张璘又率兵追击甚急，而信州又恰遇疫病流行，义军士卒多死，元气大伤。在义军处境十分危急的时刻，黄巢巧施缓兵之计一方面用重金贿赂张璘，使其减慢进军；另一方面又致书高骈，表示“投降”。高骈中了黄巢圈套，以为大功告成，遂上奏朝廷，声称义军“不日当平，不烦诸道兵，请悉遣归”。当黄巢获悉诸道兵已经北渡淮河，散归其镇，而且义军也恢复了作战能力，即抓住时机，一举杀死张璘，大败淮南兵，并乘胜攻占了睦州（治今浙江建德）、婺州（治今浙江金华）。同年七月，黄巢率军从采石（今安徽马鞍山西南）北渡长江，进围天长、**等县，义军一时兵势甚盛。这时，高骈见诸道兵已经北归，张璘又战死，“自度力不能制，畏怯不敢出兵，但命诸将严备，自保而已”，同时又向朝廷上表告急，奏称义军六十万，距扬州已不足五十里。之后“遂称风痹，不复出战”。
唐廷本对高骈寄以厚望，这时见高骈告急，顿时慌了手脚，急忙诏命河南调动各道兵驻守溵水（今河南商水西南），以阻止黄巢军北进。九月，义军击败泗州（治今江苏盱眙）官军，又遇溵水官军内讧，各自散归本镇，于是义军全部渡过淮河。黄巢自称“率土大将军”，队伍“自淮以北整众而行，不剽财货，惟驱丁壮为兵耳”②。义军攻陷申州（治今河南信阳）之后，长驱进入颍、宋、徐、兖等州，所到之处，官吏四处逃散。
起初，义军将北渡淮河时，宰相豆卢瑑曾议请授黄巢为天平节度使，待其到镇时再发兵除掉他。另一宰相卢携执意不从，认为只要发兵守住泗州，义军不能入关，必还掠江、淮，便无能为力。不久义军北上，淮北告急，卢携遂惶愧称病不出，京师也充满了恐怖气氛。十一月，义军进入汝州（治今河南临汝），黄巢自称“天补平均大将军”，并传檄官军说“各宜守垒，勿犯吾锋！吾将入东都，即至京邑，自欲问罪，无预众人。”这时朝廷乱作一团，有人主张调发关内诸镇兵扼守潼关，大宦官田令孜还自请率两神策军弓弩手去守关；有人则认为义军拥有六十万之众，潼关又无重兵，难以坚守。但僖宗还是决定让田令孜率兵东守潼关。十一月十七日，黄巢大军进抵洛阳城下，唐将齐克让退守潼关，东都留守刘允章则率众出城迎接黄巢入城。义军纪律严明，只是“供顿而去，坊市晏然”②。
《资治通鉴》卷二五三，僖宗广明元年。
② 《旧唐书》卷十九下《僖宗纪》。
《资治通鉴》卷二五四，僖宗广明元年。
② 《旧唐书》卷十九下《僖宗纪》，纪日则从《资治通鉴》。
第四节建立大齐政权黄巢军进占洛阳不几日，即向关中挺进。十一月二十一日，僖宗以田令孜为汝、洛、晋、绛、同、华都统，将左、右军东讨。就在这一天，黄巢率军西进，攻占了虢州（治今河南灵宝）。并警告拒守潼关的官军说“吾道淮南，逐高骈如鼠走穴，尔无拒我！”
田令孜虽名为汝、洛诸州都统，率神策、博野等军十万守潼关，但他只是遥领，却派左军马军将张承范等率神策军前往拒战。当时，神策军士皆是长安豪富子弟，只是为了厚得供给和赏赐才贿赂宦官挂名军籍的，平日高车大马，悠然自得，未尝经历战阵。所以一旦听说出征，吓得父子抱头相哭，为了逃避战事，多以金帛雇商贩与贫民代行。十二月一日，黄巢大军进至潼关， 唐守关将士断炊，士气低落。义军奋力攻关，而尚让又从被称为“禁坑”的关旁谷中小道迂回到关后，前后夹攻，官军溃退，博野乱军直奔长安，大肆劫掠。
黄巢一举破关，又乘胜攻克了华州（治今陕西华县），留部将乔钤驻守，自己亲率大军直捣长安。十二月五日，百官刚刚退朝，传闻博野乱兵入城，即各自逃匿，僖宗在田令孜神策军的护卫下，狼狈逃往成都避难，只有很少人从行，文武百官及诸王、妃多不知皇帝去向。当天下午，黄巢前锋柴存未受到任何抵抗即顺利进入长安，唐金吾大将军张直方率文武官数十人至灞上迎接。黄巢乘坐金色肩舆，其将士皆披发，束以红绫，身穿锦袍，手执兵器，簇拥黄巢而行。义军浩浩荡荡，“甲骑如流，辎重塞涂，千里络绎不绝”。黄巢终于实现了“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”的夙愿。黄巢军意气洋洋地进入长安城，长安市民夹道观看，尚让一再告谕市民说“黄王起兵，本为百姓，非如李氏不爱汝曹，汝曹但安居无恐。”义军将士在街道上每遇到贫民，“往往施与之”。
十二月十二日，黄巢进入太清宫。翌日，于含元殿即皇帝位，国号“大齐”，建元金统，并大赦天下。黄巢封其妻为皇后，尚让、赵璋等为宰相，郑汉璋为御史中丞，李俦等为尚书，皮日休为翰林学士，孟楷、盖洪等为尚书左、右仆射兼军容使。黄巢下令唐官三品以上全部停任，四品以下则官复原职。可见，大齐是由农民军文武官与唐官僚混合而成的一个政权机构。农民军憎恨官吏，对唐宗室、公卿士族实行严厉的镇压政策，“杀唐宗室在长安者无遗”。宰相豆卢瑑、崔沆及左仆射于琮、右仆射刘邺、太子少师裴谂等藏匿民间，被义军搜出后“皆杀之”，将作监郑綦、库部郎中郑綦拒不投降，“举家自杀”。投降黄巢的左金吾大将军张直方因匿公卿于夹壁墙中，事发后被杀。农民军给唐宗室、公卿士族以巨大的打击，“华轩绣毂皆销散，甲第朱门无一半”；“内库烧为锦绣灰，天街踏尽公卿骨”②。韦庄的这些诗句形象地反映了这一历史事实。
大齐政权的建立，标志着黄巢农民军已取得了巨大的胜利，昔日威令天下的公卿贵族已被打翻在地，而备遭欺压凌辱的贫苦农民如今却堂而皇之地做了大齐皇帝，扬眉吐气，这无疑是一个翻天覆地的巨大变化。当时有人写 《资治通鉴》卷二五四，僖宗广明元年。
《资治通鉴》卷二五四，僖宗广明元年。
② 韦庄《秦妇吟》。
诗道“自从大驾去奔西，贵落深坑贱出泥。邑号尽封元谅母，郡君变作士和妻。扶犁黑手翻持笏，食肉朱唇却吃虀..”③作者虽然站在敌对的立场上讥讽农民政权，却也无法掩盖这一历史巨变的事实。
黄巢虽然建立了农民政权，但却没有出台什么改革措施，稳定人心。也没有及时追击望风而逃的僖宗朝廷，给敌人以喘息的机会，所以僖宗得以从容地组织力量，大力围剿农民军。当僖宗逃至兴元时，即诏令诸道各出军收复京师。中和元年（88）正月，诏令镇东、太原、代州等藩帅各发本道兵并赴京师讨伐义军。三月，以凤翔节度使郑畋同平章事，充京西诸道行营都统，与泾原、秦州、鄜延、夏州等节度使“同盟起兵，传檄天下”。七月，又以宰相王铎兼滑州刺史，兼充京城四面行营都统，“遣郎官、御史分行天下，征兵赴关内”。僖宗调兵遣将，各路军马陆续向京师进发。
黄巢称帝后，曾遣使调发河中（今山西永济西）粮饷，唐河中将王重荣拒战，缴获粮饷四十余船。广明元年三月，黄巢以朱温为东南面行营都虞候，攻陷了邓州（治今河南邓县），以阻止荆、襄官军北上。接着又遣尚让、王播率军进攻凤翔（今陕西宝鸡）。尚让以为郑畋乃一介书生，不谙军事，麻痹轻敌，中了埋伏，大败而归，损失二万多人。原已投降义军的唐夏绥节度使诸葛爽这时也背叛了义军。四月，黄巢任命其将王玫为邠宁节度使，为唐将所攻杀。这时部分官军已分别进至长安附近的渭北、沙苑、渭桥、武功和盩厔（今陕西周至），渐渐逼进长安。黄巢误以为唐大军赶到，急忙率军出城东走。唐军入城大肆劫掠，乱不成军。黄巢夜宿灞上，听说官军已乱，又无援军，回师攻城，官军大败，“死者什**”，义军收复了长安。②这时，义军同州刺史王溥、华州刺史乔谦（钤）、商州刺史宋岩听说黄巢已撤离长安，也慌忙弃城而走。稍遇风吹草动，黄巢及其将则弃城而走，这一事实说明大齐政权还是很不稳固的。
黄巢再次进驻长安后，也极力想打开局面。中和元年（88）六月，遣其将王播围攻兴平（今属陕西），击败了唐邠宁节度使朱玫。八月，黄巢将李详击败唐昭义节度使高浔，乘胜收复华州。十一月，孟楷、朱温进军富平（今陕西富平东北），唐邠、夏二军败归本道。中和二年（882）二月，朱温再次攻占了同州。
黄巢军虽然四处作战，或胜或败，但始终未能打开局面，黄巢“号令所行，不出同（今陕西大荔）、华（陕西华县）”，基本上仍局限于长安一隅之地。一些地主武装多入深山“筑栅自保，农事俱废，长安城中斗米直三十缗”。兼之义军又长期习惯于流动作战，即使在其势力十分强大时也往往是攻下一城，不久又丢弃，像东都洛阳这样的经济、军事重地也不留一兵一卒驻守。由于长期没有建立巩固的根据地，得不到充足的供给，长安粮食供给严重不足，将士或以树皮充饥。因此，当唐诸路大军云集长安，向义军发起总攻时，形势便急转直下，历时三年的大齐政权也就很快崩溃了。
③ 何光远《鉴诫录》卷一《金统事》。
《旧唐书》卷十九下《僖宗纪》。
② 《资治通鉴》卷二五四，僖宗中和元年。
《资治通鉴》卷二五四，僖宗中和二年。
第五节败死狼虎谷中和二年（882）九月，朱温变节降唐。李详也欲投降，被黄巢所杀。黄巢任命黄思邺为华州刺史，但到了十一月，即被李详旧卒逐出。中和三年（883）正月，沙陀李克用率兵五万进至沙苑，击败了黄揆。二月，黄巢见义军节节败退，粮食也将吃光，便“阴为遁计，发兵三万搤蓝田道”②，为撤离长安做好准备。
同年四月，唐诸镇兵从四面八方会集京师。李克用与河中、忠武镇将率先出战。黄巢率大军于渭桥迎战，一日三战，连战失利，其他诸道兵也乘机发起攻击，义军大败。四月十四日，李克用军攻入长安，黄巢力战不胜，遂连夜撤离长安。这时义军尚有十五万。黄巢扬言奔徐州，实际上却经蓝田关进入了商山（今陕西商县东）。在撤退中，义军把辎重珍货遗弃于道路，官军在长安大肆抢掠之后，又在路上争先拾取财物，不再追击，故黄巢“得整军而去”。
五月，黄巢骁将孟楷率万人奔袭蔡州（治今河南汝南），唐节度使秦宗权迎战败北，遂归顺了义军。接着孟楷又进攻陈州（治今河南淮阳），陈州刺史赵犨早有防备，乘机袭杀了孟楷。六月，黄巢与秦宗权合兵围攻陈州，“掘堑五重，百道攻之”。黄巢还在州城北“立宫室百司，为持久之计”。在黄巢围攻陈州时，唐廷不断调动军队，以围剿农民军。七月，朱全忠（温）被任命为宣武节度使，加东面招讨使。九月，命感化军节度使时溥为东面兵马都统。十二月，陈州被围困日久，即向邻道求救。于是忠武镇周岌与时溥、朱全忠等皆率兵前来救援。
中和四年（884）正月，黄巢军仍是势力强大，周岌等诸路救兵被义军打得落花流水，招架不住，不得不共同向河东节度使李克用求救。二月，李克用率蕃、汉兵五万前来增援。黄巢围攻陈州数百天，却始终未能攻克。这时李克用会同许、汴、徐、兖等州军马向陈州进发，先击败了驻守陈州北的太康尚让军，又击败了陈州西的西华黄思邺军，于是黄巢从陈州周围撤军，退至陈州北的故阳里。五月，连日大雨，平地水深三尺，黄巢军营为水所漂，又听说李克用大军将至，遂奔向汴州。当黄巢军从中牟（今河南中牟）北汴河王满渡口渡河时，李克用乘势袭击，义军大败，死伤万余人，尚让率其部下投降了时溥，别将李谠等人投降了朱全忠。义军损失惨重，黄巢率残兵败将向东北逃去，李克用又追杀到封丘（今河南封丘）。这时又遇大雨，黄巢只收集散兵近千人，冒雨东奔兖州。
六月十五日，武宁将李师悦与尚让追至瑕丘（今山东兖州），黄巢与唐军“殊死战，其众殆尽”，与其外甥林言走至泰山狼虎谷的襄王村（今山东莱芜西南）。这时，林言见大势已去，“惧追至并命”，于是便乘机杀了黄巢及其兄弟妻子。林言持黄巢等人首级欲向时溥献功，在路上却遇到沙陀博野军，他们杀了林言，将林言及黄巢等人首级一并献于时溥。
黄巢从揭竿而起至失败身亡，历时十年之久。他的活动北起山东，南至广东，西至陕西，转战南北，纵横全国十二省，推动了各地的农民斗争，沉② 《资治通鉴》卷二五五，僖宗中和三年。
《资治通鉴》卷二五五，僖宗中和三年。
《旧唐书》卷十九下《僖宗纪》；《资治通鉴》卷二五六，僖宗中和四年。重地打击了唐朝的腐朽统治。黄巢打着“天补平均大将军”的旗帜，表明了农民朴素的平均主义思想，这对后世的农民战争具有深远的影响。
第四十七章数学隋唐时期，由于农业、手工业和商业的发展，以及编制历法、开凿大运河和大规模城市建设等实际需要，数学在前代成就的基础上继续向前发展。这一时期，见于记载的数学著作已明显增多，如《隋书·经籍志》著录有27种，宋初编纂的《新唐书·艺文志》著录有35 种。数学教育制度的确立、李淳风等对于十部算经的整理和注释、王孝通《缉古算经》关于三次方程的工作、二次内插法的创立、实用算术的发展和计算技术的革新，以及数学知识的普及、中外数学交流的扩大等等，在中国古代数学史上都具有重要意义。第一节数学教育据历史记载，早在西周时期“数”作为“六艺”之一，成为贵族子弟必修的一门课程，在一定程度上受到统治阶级的重视。当时还有世代相传掌管天文历法和通晓数学的所谓“畴人”。但是数学知识的延续和发展，主要依靠私授家传。如著名数学家祖冲之就称得上是数学世家。隋唐时期，在数学教育方面的一项重要举措是在国子监内设立算学馆，并相应地在科学考试中设有明算科。如隋朝国子寺设立“算学”，置有博士二人，助教二人，招收学生八十人，进行数学教育。唐沿隋制，国子监亦设置“算学”，但其设于何时则有两种说法。一说为贞观二年（28），“是岁大收天下儒士..其书算各置博士学生，以备众艺”。《唐会要》也有类似记载，并且提到唐太宗多次亲临国子监视察，“国学之盛，近古未有”。另一说则称，“唐废算学，显庆元年复置”②。从唐初百废待兴到社会稳定、经济繁荣和文化发达的总体情况来看，大致应是，贞观初设“算学”，后曾一度撤销，而在显庆元年（5）又在国子监内重新添设算学馆。
唐代算学馆由算学博士“掌教文武八品以下及庶人之子为生者”③，共招收学生三十人，分为两组，学制均为七年。学习内容主要是十部算经，其中一组十五人学习《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《周髀算经》和《五经算术》，另一组十五人学习《缀术》和《缉古算经》。按当时规定，《孙子》和《五曹》共限习一年，《九章》和《海岛》共三年，《张丘建》和《夏侯阳》各一年，《周髀》和《五经算》共一年，《缀术》四年，《缉古》三年，此外还要兼习《数术记遗》和《三等数》。
与此相应科举取士还设置了明算科，考试内容主要从十部算经中选题，考试合格者可分配从九品以下的官职。然而，终唐之世数百年间，封建统治者对于数学教育兴废无常，算学馆有时设置有时停办，隶属关系也常有改变，有时属于国子监，有时又属于秘书局或太史局，如显庆元年（5）设算学馆，仅过两年多，于显庆三年（58），因算学等“事唯小道，各擅专门，有乖故实，并令省废”，取消了算学馆，并把算学博士以下人员转属太史局。龙朔二年（2）又重设算学馆，而学生人数减为十人，翌年再使“算学隶秘书局”②。此后，“算学”仍时有兴废，大约在晚唐时，明算科考试也被取消了。这种情况当然对数学发展是不利的。隋唐以后在国子监创设算学馆，进行专业数学教育，科举考试中设立明算科选拔数学人才，这毕竟是我国历史上的创举。但由于封建思想的束缚，重经史轻理工的风气长期盛行，因而数学教育并没有受到应有的重视。例如，在唐代国子监中，有国子、太学、四门、律学、书学、算学六个学馆，其中国子学有学生三百人，太学、四门各有学生五百人，而算学仅有学生三十人，后来又减为十人，并且只招收社会地位不高的人家的子弟。明算科科举及第以及学数学的人又只能得到很低的官职，如国子博士是正五品上，而算学博士却是品位最低的从九品下，算学博 《贞观政要》卷七。
② 《新唐书》卷四六《百官志》。
③ 《旧唐书》卷四四《职官志》。
②《唐会要》卷六六。
士与助教也只能拿到最低的月俸，因此“士族所趋唯明经、进士二科而已”③，“明经”和“进士”仍然是多数知识分子追求的目标。
③ 《通典》卷十三《选举》。
第二节算经十书唐代国子监算学馆采用的教材，是由国家统一编订的。据《旧唐书·李淳风传》载初唐时，“太史监候王思辩表称《五曹》、《孙子》理多踳驳，淳风复与国子监算学博士梁述、太学助教王真儒等受诏注《五曹》、《孙子》十部算经。书成，高宗令国学行用”。《唐会要》广文馆条则称，显庆元年（5）十二月十九日尚书左仆射于志宁等奏置，“令习李淳风等注释《五曹》、《孙子》等十部算经，分为二十卷行用”②。李淳风曾任朝议大夫、将士郎、承务郎、轻车都尉、太史丞、太史令、秘阁郎中等官职，著有《晋书》和《隋书》中的《天文志》、《律历志》、《五行志》，以及《典章文物志》，《乙巳占》，《秘阁录》，《法象志》等。
据新旧《唐书》和《宋史》等史籍记载，李淳风等编订和注释的十部算经，有《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，后世称为“算经十书”。后来北宋元丰七年（084）秘书省刻印算书时，《缀术》已经失传，因而只刻印了九部，并且据考证，其中《夏侯阳算经》并非原著，而是唐代中期的《韩延算术》。由于此书卷上第一章引用了夏侯阳的一句话而被误认为《夏侯阳算经》。南宋嘉定六年（23），鲍澣之在福建汀州学校主持翻刻北宋本九部算经时，又补入从杭州七宝山宁寿观所藏道书中发现的徐岳《数术记遗》一卷，并且辗转流传到现在。93年中华书局出版钱宝琮校点本《算经十书》。
现在有传本的《算经十书》每卷的第一页上都题有“唐朝议大夫、行太史令、上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释”字样，实际上只有《周髀》、《九章》、《海岛》、《张丘建》和《五经算术》五种还保留有李淳风等的注释，并且已非全貌，其他几种都已失传了。在李淳风等关于算经十书的校订和注释工作中，就天算内容而言，其《周髀算经注》水平较高，特别是修正了经文和赵爽、甄鸾注中的一些缺陷，作出了较大贡献。例如，根据实际观测，指出《周髀》等古代天算家认为南北相距千里、日影长度相差一寸的传统说法不符合实际情况，据此推算得出的天文数据自然也是错误的；提出用两根标竿（古人称为“表”）测量时，应根据地势高低不同对日高公式作适当的修正并提出了相应的计算方法；指出赵爽所修改的二十四节气八尺高表的日影长度，用等差级数计算也与实际不合；逐条校正了甄鸾对赵爽《勾股圆方图注》的种种误解，这对于后世读者有很大帮助。
李淳风等对其他算经的注释有不少值得称道之处，如在《九章算术》“少广章开立圆术”中，引用了祖暅关于球体积计算的研究成果，保存了珍贵的史料。《缀术》失传之后，幸有李淳风等的记述，才使后人能够了解到祖氏父子的球体积公式和祖暅公理等中国数学史上的重要成就。对《海岛算经》的注解，则详细指明了解题中的演算步骤，在一定程度上为当时及后人的学习和研究提供了方便。李淳风等人的注释工作也存在不少缺点，例如，赞扬祖冲之圆周率“更开密法”，而没有充分认识到刘徽割圆术的重要意义，认 《旧唐书》卷七九《李淳风传》。
② 《唐会要》卷六五。
为“徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也”；在《九章算术》有关圆面积的问题答案下，添加“按密率”计算所得答案，结果使后来不少人误认为“约率”22/7 是祖冲之的“密率”；总的来说，李淳风等人对算经十书进行系统的整理和注释，这些算书又被采用为数学教材，从而使这些反映唐代以前中国古代数学发展情形的最重要的原始文献得以流传至今。
《九章算术》方田章圆田术李淳风等注。
第三节《缉古算经》与三次方程唐代立于学官的十部算经中，王孝通《缉古算经》是唯一的一部由唐代学者撰写的。王孝通主要活动于六世纪末和七世纪初。他出身于平民，少年时期便开始潜心钻研数学，隋朝时以历算入仕，入唐后被留用，唐朝初年做过算学博士（亦称算历博士），后升任通直郎、太史丞。毕生从事数学和天文工作。唐武德六年（23），因行用的傅仁均《戊寅元历》推算日月食与实际天象不合，与吏部郎中祖孝孙受命研究傅仁均历存在的问题，武德九年（2）又与大理卿崔善为奉诏校勘傅仁均历，驳正术错三十余处，并付太史施行。王孝通所著《缉古算术》，被用作国子监算学馆数学教材，奉为数学经典，故后人称为《缉古算经》。全书一卷（新、旧《唐书》称四卷，但由于一卷的题数与王孝通自述相符，因此可能在卷次分法上有所不同）共二十题。第一题为推求月球赤纬度数，属于天文历法方面的计算问题，第二题至十四题是修造观象台、修筑堤坝、开挖沟渠，以及建造仓廪和地窖等土木工程和水利工程的施工计算问题，第十五至二十题是勾股问题。这些问题反映了当时开凿运河、修筑长城和大规模城市建设等土木和水利工程施工计算的实际需要。
王孝通在《上缉古算经表》中说“伏寻《九章》商功篇有平地役功受袤之术。至于上宽下狭，前高后卑，正经之内阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间同欹邪之用。斯乃圆孔方枘，如何可安。臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目，将来莫睹。遂于平地之余，续狭邪之法，凡二十术，名曰《缉古》。”这段话清楚地说明了他写作本书的目的和研究成果。《缉古算经》涉及到立体体积计算、勾股计算、建立和求解三次方程x3＋ax2＋bx＝（a、b 和，非负），建立和求解双二次方程x4＋ax2＝（a、，为正，这是一种特殊形式的四次方程）等数学内容。这类问题与解法大多相当复杂，就当时数学水平而言是相当困难的，因此，在国子监算学馆要学习三年，学习年限仅次于祖氏父子的《缀术》。例如该书第三题，假如从甲、乙、丙、丁四县征派民工修筑河堤，这段河堤的横截面是等腰梯形，已知两端上下底之差，两端高度差，一端上底与高度差，一端高度与堤长之差，且已知各县出工人数，每人每日平均取土量、隔山渡水取土距离、负重运输效率和筑堤土方量，以及完工时间等，求每人每日可完成的土方量，整段河堤的土方量（即河堤体积）和这段河堤的长度、两端高度、两端上下底宽度，以及各县完成的堤段长度等。前两个问题是比较简单的算术问题，后两个问题则要经过较复杂的推导和几何变换归结为建立和求解形如x3＋ax2＋bx＝ 的三次方程。在《缉古算经》第十五题至二十题等属于勾股算术的问题中，王孝通还创造性地把勾股问题引向三次方程，并与代数方法结合起来，扩大了勾股算术的范围，发展了勾股问题的解题方法。在中国数学史上，《缉古算经》是我国现存最早介绍开带从立方法的算书，它集中体现了中国数学家早在公元七世纪在建立和求解三次方程等方面所取得的重要成就。在西方，虽然很早就已知道三次方程，但最初解三次方程是利用圆锥曲线的图解法，一直到十三世纪意大利数学家菲波那契才有了三次方程的数值解法，这比王孝通晚了六百多年。王孝通对自己的研究成果十分得意。他在《上缉古算经表》中批 王孝通《上缉古算经表》，钱宝琮校点《算经十书》，中华书局93 年版。评时人称之精妙的《缀术》，“曾不觉方邑进行之术全错不通，刍甍方亭之问于理未尽”，由于《缀术》已经失传，王孝通的说法是否正确，已无从查考，但想来恐有失偏颇。他还宣称，“请访能算之人考论得失，如有排其一字，臣欲谢以千金”，这又未免有些过于自信。以后，宋元数学家创立了天元术、四元术和高次方程数值解法等，取得了更加辉煌的成就。
第四节二次插值法二次插值法（又称二次内插法）的创立，是隋唐数学的又一项重大成就。插值法是根据两个自变量的已知函数值求这两个自变量之间各自变量对应函数值的近似计算方法。这种方法是很有实用价值的。例如，在天文观测中，人们不可能每时每刻都进行观测，因此只能得到日月五星某些时刻在天球上的位置。利用这些观测记录推算日月五星在其他时刻的位置，就要用到插值法，这对于天文计算特别是日月交食的推算是十分重要的。实际上在《周髀》和《九章》中就已有了一次插值（或称线性插值）公式。东汉末天文学家刘洪制订《乾象历》，为计算月球在近地点后＋s 日的共行度数，采用了一次插值公式f（＋s）＝f（）＋s△，其中 为月球在近地点后运行的整日数，f（）为对应的月球位置函数，0＜s＜，△＝f（＋）－f（）。此后，曹魏杨伟、姚秦姜岌、刘宋何承天、南齐祖冲之等各家历法计算月行度数时也都采用了这种算法。随着天文学的发展和观测精度的提高，天文学家不仅发现了月球视运动的不均匀性，而且也发现了太阳和五星视运动的不均匀性，也就是说，日月五星的视运动并非是时间的一次函数。为了编制更好的历法，特别是为了精确计算合朔和交食时刻，何承天、祖冲之以前所长期采用的一次插值法，误差太大，已经不能满足这种要求，于是中国天算家开始了新的探索。
隋开皇二十年（00），天文学家刘焯在他所编制的《皇极历》中，在推算日月五星视运动度数时，首先创用了等间距二次插值公式f l s f lsls lsl( ) ( ) ( ) ( )( ),+ = + + + +- -22 2 222 2△ △ △ △△ △其中l 为相等的时间间隔，求太阳视行度数时，l 是一个节气的平均日数，求月行度数时，l 为一日，0＜s＜l，f（t）是时间t 的函数，表示日月五星的运行度数。当l＝ 时，上式可化为f s f ss s l( ) ( )( ), + = + +-△ △22其中△＝△，△2＝△2 为各时间点上相应的一级差分和二级差分。这个公式实际上就是后来著名的牛顿插值公式的前三项。这种方法比以前所用的一次插值法精密，利用这个公式计算所得到的历法精确度也有所提高。可惜的是刘焯《皇极历》这部较先进的历法当时并未颁行，直到唐代李淳风才将其计算方法引入《麟德历》中。
由于各个节气之间的时间长短实际上并不相等，即历法中的各个节气是不等间距的，日月五星的视运动也不是匀变速运动，因此用刘焯公式计算的结果仍然存在较大的误差。为了解决这一问题，进一步提高历法的精确度，唐代著名天文学家一行又在此基础上大胆创新，在《大衍历》（727）中创立了不等间距二次插值公式f f s f t sl lsl lsl l l l( ) ( ) ( ) + = ++ ++ --+-.è ... ÷△ △ △ △△ △ 2 2222 222其中f（t）为已知值，l，l2 表示不同的时间间隔。此外，有些学者认为一行还提出了等间距三次差插值法的近似公式，而有些学者则认为就插值算法本身而言，一行算法与刘焯算法实质完全相同，其分别仅在于以平气或定气为时间间隔的不同②。这些看法究竟是否合适，尚有待于更深入的研究。刘焯和一行的二次插值法影响很大，并且继续有所发展，如晚唐天文学家徐昂编制《宣明历》，在推算太阳和月亮行度时提出了更为简便的插值公式，在一定程度上简化了一行和刘焯的结果。后来宋元数学家又相继创立三次插值法和高次插值法（招差术），在公式内容与形式上已与牛顿插值公式完全一致，更加圆满地解决了与之相关的数学和天文计算问题。
严敦杰《中国古代数理天文学的特点》，《科技史文集》（第 辑），上海科学技术出版社978 年版。② 王荣彬《中国古代历法中的插值法构建原理》，见曲安京、纪志刚、王荣彬《中国古代数理天文学探析》，西北大学出版社994 年版。
第五节实用算术的发展与敦煌算书唐代中期以后，普遍推行“两税法”的赋税制度，经济情况得到一定程度的复兴，农业、手工业和商业有了较大的发展。与此相应，人们在日常生活中需要进行计算的机会大量增加，从而产生改进和简化筹算算法的迫切要求，促进了实用算术的发展，并且取得了显著的成就。例如，以《夏侯阳算经》名义流传至今的《韩延算术》，是一部可供地方官吏和平民百姓学习数学知识和计算技术的实用算术书。全书共三卷八十三题，书中收集和征引各家算法及当时法令，保存了宝贵的数学史料。其中记载有将筹算多位数乘除转变为单位数乘除的算法，把要摆放上中下三层的筹算简化为在一个横列里演算。如乘数为35，就可以先乘5，然后乘7。除数为2，可以先折半，然后再除以。当乘数首位是 时，又可以“以加代乘”。如乘数是4，可用“身外添四”法，即被乘数不动（这相当于该数乘以0），然后再退一位加上该数的4 倍；乘数是02，可用“隔位加二”法，除数是2，可用“身外减二”法，等等，都在被乘数或被除数筹式本身上进行演算。对于更多位数的乘除，可用类似的方法去处理。如果乘数或除数的首位数不是，还能采用各种方法将它化为，然后再来计算。这种算法叫做“求一”或“得一”算法，当时曾受到不少数学家的关注。据史籍记载，晚唐天文学家边冈“用算巧，能驰骋反复于乘除间。由是简捷、超径、等接之术兴，而经制、远大、衰序之法废矣”。这也从一个侧面反映了唐代学者在简化数字计算方面的成果及其影响。中唐以后乃至宋元时期，改革和简化筹算算法的工作一直在继续着，并且不断有所进展，其中许多成果还被后来的珠算术所吸收，直到珠算完全代替筹算，这一工作方告结束。涉及筹算改革的专门书籍，除《韩延算术》外，还有陈从运《得一算经》七卷，“其术以因折而成，取损益之道，且变而通之，皆合于数”，江本《一位算法》2 卷，龙受益《算法》2 卷、《求一算术化零歌》 卷、《新易一法算范要诀》 卷等，但可惜的是这些著作都已失传了。
据史籍记载，庸宋之际数学著作为数不少，而传留至今者则不多。十九世纪末在敦煌莫高窟藏经洞发现了大批历史文献。在这批文献中包含有四种写本算经②《算经（并序）》 卷、《算书》和《算表》，这三种现藏法国国立巴黎图书馆；另两部《算经（并序）》 卷，其内容与巴黎藏本完全相同，实际上是同一本书，此外还有《立成算经》一卷，这三部书现藏英国伦敦大不列颠博物馆。以上四种算书大致说来可能成书于中晚唐或五代时期，是研究这一时期数学的重要史料。《算经》序中提到“凡算者正身端坐”，“盖意明情乐者，安有不成哉”，等等，在战乱时期一般不会有如此平和的心境，书中还有“又据大唐令文”字样，关于大数记法和度量衡制度与《孙子算经》相同，另外此书有三个抄本，可见在当时是比较流行的，因此《算经（并序）》有可能是唐中期的作品。《算表》标明是五代时后周太祖广顺二年（952）写本。《算书》载有男丁给米，养马给粟，造袍用绵，城楼用兵，石车钩弩，领军出征等问题，显然适应于军事计算的需要，因此这部书可能 《新唐书》卷二八《历志》。
《新唐书》卷五九《艺文志》，《宋史·律历志》。
② 详见李俨《中国古代数学史料》，上海科学技术出版社93 年版。以下敦煌算书引文，均转引自此书。写于战乱频仍的五代时期。《立成算经》关于大数记法和度量衡制度趋于简约，与《孙子算经》和《算经（并序）》有所不同，所列算法表也很简明扼要，便于查索，因此可能也是五代时的作品。敦煌藏经洞发现的这四种算书所包含的数学内容主要有算筹记数法、大数记法、度量衡制，以及乘法口诀、四则运算、面积、体积计算和算表等，其中所载算题及乘法、乘方、累加和田亩等计算用表，有些很有实用价值，为唐以前算书所未见。这些来自民间的算书，反映了唐宋之际民间数学教育和数学知识应用的真实情况。
第六节中外数学交流南北朝和隋唐时期，随着佛教的流传，印度的一些天文学和数学著作也传入中国，并且有了中文译本。《隋书·经籍志》著录有《婆罗门算法》3卷，《婆罗门阴阳算历》 卷，《婆罗门算经》3 卷，但这些书早就失传了，现已无法查考其具体内容。唐代还有一些印度天文学家在当时的司天监工作，主要有瞿昙、迦叶和俱摩罗三家，尤以瞿昙家族的成就最为突出。如著名天文学家瞿昙悉达，曾担任过太史监等官职，编撰有《开元占经》2
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