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熙元年——三年（405—407）。
顺恒水东下十八由延，有瞻波大国，今比哈尔邦东部巴格耳普尔略西不远处。
从此东行近五十由延，到多摩梨帝国，是海口，即《大唐西域记》卷十之耽摩栗底国，其首都故址在今印度西孟加拉邦西南之坦姆拉克（Tamlu）。法显在这里住了两年，写经及画像。此当为义熙四年及五年（408、409）。法显在印度的活动到此结束。
六、在师子国。
《祐录》原文于是持经像寄附商客，到师子国。显同旅十余，或留或亡，顾影唯己，常怀悲慨，忽于玉像前见商人以晋地一白团扇供养，不觉凄然下泪。停二年，复得《弥沙塞律》、《长阿含》、《杂阿含》及《杂藏》本，并汉土所无。《高僧传》完全抄《祐录》原文。《法显传》比较详细，其他几种书都很简略。我现在根据《法显传》作一些补充。师子国，《大唐西域记》卷十一称之为僧迦罗国，一意译，一音译，即今之斯里兰卡。据说这里原来没有人，后来商人贪图这里的宝石，于是遂成大国。这里有纪念佛来此化恶龙的大塔。有无畏山僧伽蓝，法显见故国白扇而流泪就在这座寺院里。有前王从印度中国取来的贝多树，有声名远扬的佛牙。在无畏精舍东四十里，有跋提精舍，有二千和尚。城南七里有摩诃毗诃罗精舍，和尚三千人。这里的国王笃信佛法，因此佛教非常兴盛。法显在这里听到天竺道人诵经，内容讲的是佛钵。他想写这一部经，但是道人说，只是口诵，因此没有能写成。法显在这里住了两年，当为义熙六年及七年（40、4）。
七、浮海东还。
《祐录》原文既而附商人大舶还东，舶有二百许人。值大暴风，舶坏入水，众人惶怖，即取杂物弃之。显恐商人弃其经像，唯一心念观世音及归命汉土众僧。大风昼夜十三日，吹舶至岛下，治舶竟前，时阴雨晦冥，不知何之，唯任风而已。若值伏石及贼，万无一全。行九十日，达耶婆提国。停五月日，复随他商侣东趣广州。举帆月余日，中夜忽遇大风，举舶震惧。众共议曰“坐载此沙门，使我等狼狈，不可以一人故令一众俱亡。”欲推弃之。法显檀越厉声呵商人曰“汝若下此沙门，亦应下我；不尔，便当见杀！汉地帝王奉佛敬僧，我至彼告王，必当罪汝！”商人相视失色，g 俛而止。既水尽粮竭，唯任风随流。忽至岸，见藜藿菜依然，知是汉地，但未测何方。法显就是这样又回到了祖国。《祐录》记载已极细致生动，《法显传》也不过如此，用不着再作什么补充了。八、回国后的译经活动和卒年。
《祐录》原文即乘小舶入浦寻村，遇猎者二人，显问“此何地耶？”猎人曰“是青州长广郡牢山南岸。”猎人还，以告太守李嶷。嶷素敬信，忽闻沙门远至，躬自迎劳，显持经像随还。顷之，欲南归。时刺史请留过久，显曰“贫道投身于不返之地，志在弘通。所期未果，不得久停。”遂南造京师，就外国禅师佛驮跋陀，于道场寺译出《六卷泥洹》、《摩诃僧祇律》、《方等泥洹经》、《綖经》、《杂阿毗昙心》，未及译者，垂有百万言。显既出《大泥洹经》，流布教化，咸使见闻。有一家，失其姓名，居近杨都朱雀门，世奉正化，自写一部读诵供养。无别经室，与杂书共屋。后风火忽起，延及其家，资物皆尽，唯《泥洹经》俨然具存，煨烬不侵，卷色无异。扬州共传，咸称神妙。后到荆州，卒于新寺，春秋八十有二，众咸恸惜。其所闻见风俗，别有传记。《高僧传》几乎完全抄《祐录》。《法显传》比《祐录》详细，再根据它作一点补充。上岸以后，商人又乘船还向扬州。法显受到了李嶷的款待以后，由陆路南下，道过彭城，受青兖刺史刘道怜之请，住了一冬一夏，在这里夏坐，时间是义熙九年（43）。关于这个问题，足立喜六（见前引书，29 页）认为，法显随商人航海南至扬州。汤用彤（见所著《往日杂稿》2—30 页；参阅章巽前引书，75 页）不同意足立喜六意见。
法显本来想到长安去，未果，便转向建康（今南京），在这里翻译佛经。除了上面《祐录》中提到的那些佛经外，还写了一部《法显传》（此书名称繁多，参阅章巽前引书，3—24 页）。后来死在荆州新寺。年龄《祐录》说是八十二，《高僧传》为八十六。
结语上面简略地叙述了法显一生的活动情况。在这个结语里我想谈两个问题第一个是法显在中国佛教史上的地位；第二个是《法显传》在世界上产生的影响。
一、法显在中国佛教史上的地位。
上面已经谈过，佛教从印度传入中国，到了法显时代，达到了一个关键时刻，一个转折点，从过去的基本上是送进来的阶段向拿进来的阶段转变。晋末宋初的西行求法运动，就是在这样的情况下兴起来的。
根据汤用彤先生的《汉魏两晋南北朝佛教史》的统计，西行求法活动自朱士行而后，以晋末宋初为最盛。这时期最知名的求法者有以下一些人康法朗和其他四人，见《高僧传》卷四；于法兰，见同上书、卷；竺佛念，见《高僧传》卷一；慧常、进行、慧辩、见道安；《合光赞放光随略解》；慧叡，见《高僧传》卷七；支法领、法净，见《高僧传》卷六《慧远传》；法显、智严、智羽、智远、宝云、慧简、僧绍、僧景、慧景、道整、慧应、慧嵬、慧达，见《法显传》、《祐录》卷十五《法显传》、《智严传》、《宝云传》；昙学、威德等八人，见《祐录》卷九；僧纯、昙充、道曼，见《祐录》卷十一；智猛与昙纂、竺道嵩等十五人，见《高僧传》卷三；法勇、僧猛、昙朗等二十五人，见《高僧传》卷三；沮渠京声；道泰；法盛共师友二十九人，见《名僧传抄》；僧表，见同上书；法维；道普。
在所有这一些西行求法者中，法显无疑是最突出的一个。这里所谓“突出”，归纳起来约略表现在以下几个方面（一）法显旅行所到之地最多、最远。
在法显以前，在汉代，中国已经有了一些著名的旅行家，比如张骞和甘英，这是众所周知的。他们到的地方很远，很远；但是法显到的地方，他们却没有到过。这一点《高僧传》、《法显传》和唐智昇《开元释教录》，卷三都指出“皆汉时张骞、甘父所不至也。”（见50，337 和55，507）这对于中国人民对外开阔视野、认识外国，当然会有极大的帮助。其重要意义是显而易见的。
（二）法显真正到了印度。
既然西行寻求正法，其最终目的地当然是正法所在的印度。然而，奇怪的是，在法显之前，真正到了印度的中国求法僧人几乎没有。汤用彤先生说“故海陆并遵，广游西土，留学天竺，携经而反者，恐以法显为第一人。”（《汉魏两晋南北朝佛教史》，380 页）这件事情本身意义就很重要。法显以后，到了印度的中国求法僧人逐渐多起来了。
（三）法显携归翻译的戒律起了作用。
法显到印度去的目的是寻求戒律。他经过了千辛万苦，确实寻到了，其中最重要是《摩诃僧祇律》四十卷。归国后，他同佛陀跋陀罗共同译出。汤用彤先生认为这是法显求法所以重要的原因之一。这对于中国当时的僧伽来说，宛如及时的春雨，对佛教的发展，起了促进作用。
（四）法显对大乘教义发展和顿悟学说的兴起起了作用。
我们认为，世界宗教的发展是有共同规律的。这个规律可以用如下的方式来表述用越来越少的努力（劳动）得到越来越大的宗教满足。人类中有不少人是有宗教需要的。这并不完全来自阶级压迫，很大一部分是来自人并不能完全掌握自己的命运这个事实。只简单地说一句宗教是人民的鸦片烟，什么问题也不能解决。一般人的解决办法是创造和相信这一种或那一种宗教。在宗教的最初发展阶段上，满足宗教需要必须费很大的力量，付出很大的劳动。这样一来，不可避免地就会同生产力的发展发生矛盾，而生产力的发展又是维持社会存在的必不可少的前提。在这里，宗教就施展出自己固有的本能适应性。在不影响满足宗教需要的情况下，竭力适应生产力的发展。这个规律适用于所有的世界性的宗教。专就印度佛教而论，由小乘向大乘的过渡就是这个规律的具体表现。在中国两晋南北朝时期，顿悟学说的兴起，其背后也是这个规律。小乘讲渐悟，讲个人努力，也并不答应每个人都能成佛，换一个术语来说，就是每个人不都有佛性。想成佛，完全依靠个人努力。如果每个人都努力去成佛，生产力必然受到破坏，社会就不能存在。这是绝对不行的。大乘在中国提倡顿悟成佛，讲虔诚信仰，只需虔心供养，口宣佛号，则放下屠刀，立地成佛，何等轻松惬意！这样既然满足宗教需要，又不影响生产力的发展。佛教凭借了这种适应性，终于得到了发展。
但是提倡顿悟学说是并不容易的。首倡者为竺道生。在他之前，可能已有这种思想的萌芽，集大成者是竺道生。他那“一阐提皆有佛性”是非常著名的论断。“一阐提”是梵文ihatia 的音译，意思是“十恶不赦的恶人”。连这种人都有佛性，其余的人就不必说了。法显在这里也起了作用。他从印度带回来并且翻译了的《六卷泥洹》中就隐含着“一切众生悉成平等如来法身”的思想。（见《祐录》此书的《出经后记》）道生倡顿悟义，不知始自何年。据《高僧传》，卷七《竺道生传》又《六卷泥洹》先至京师，生剖析经理，洞入幽微，乃说一阐提人皆得成佛。（ 50，3，《祐录》文字稍异， 55，a）
这里明说，竺道生受到了法显《六卷泥洹》的影响。此说一出，守旧的和尚群起而攻之，他们都认为道生之说为异端邪说。不久，昙无谶译出了《大般涅槃经》，其中果有此说（见2，393b），于是众僧咸服。
以上从四个方面论列了法显在中国佛教史的突出地位。可能还有别的方面，这里不再讨论了。
二、《法显传》在世界上的影响。
法显的功绩主要在于取经和翻译。他携归和翻译的经历代经录都有著录，请参阅《祐录》卷二以及其他经录，这里不再胪列。但是他写的《法显传》对于世界的影响却远远超过了他的翻译对于中国的影响。《法显传》在历代著录中有很多不同的名称，比如《佛游天竺记》、《释法显行传》、《历游天竺记》、《佛国记》、《历游天竺记传》、《释法显游天竺记》、《佛游天竺本记》、《释法明游天竺记》、《法明游天竺记》、《历游天竺记传》、《法显记》等等，名称固繁，版本亦多（请参阅章巽前引书，页3—24）。《法显传》在国际上的影响，首先表现在它的外文译本之多上。根据章巽的统计（见同上书，页30），共有英译本三，译者为Samuel Beal（89）、James Legge（88）和H..Giles（923）；日译本三，译者为足立喜六《考证法显传》（935）、《法显传——中亚、印度、南海纪行研究》（940）和长泽和俊（970）。既然有了这样多的译本，那就必然有相应多的影响。在这里专门谈一谈《法显传》对印度的影响。众所周知，印度古代缺少真正的史籍，这一点马克思曾指出过。因此，研究印度古代历史，必须乞灵于外国的一些著作，其中尤以中国古代典籍最为重要，而在这些典籍中，古代僧人的游记更为突出。僧人游记数量极多，而繁简不同，时代先后不同。《法显传》是最古的和最全的之一。一向被认为与唐玄奘的《大唐西域记》和义净的《大唐西域求法高僧传》、《南海寄归内法传》鼎足而三。研究印度古代史的学者，包括印度学者在内，都视之为瑰宝。有一位著名的印度史学家曾写信说“如果没有法显、玄奘和马欢的著作，重建印度历史是不可能的。”
关于《法显传》对印度历史研究的重要性，兹举一个具体的例子。印度学者高善必是优秀的数学家，同时又是最优秀的史学家。他在印度古代史方面著述宏富，而且是用历史唯物主义的观点来探讨历史问题，时有石破天惊之论，在国际上享有盛誉。他的代表作是《印度史研究导论》（ Itrodutiotothe study of Idia History，Bombay，95）。本书第九章讨论的主题是“自上而下的封建主义”。讲到早期封建制的发展时，他引用了《法显传》关于中天竺的一段文字从是以南，名为中国。中国寒暑调和，无霜、雪。人民殷乐，无户籍官法，唯耕王地者乃输地利，欲去便去，欲住便住。王治不用刑罔，有罪者但罚其钱，随事轻重，虽复谋为恶逆，不过截右手而已。王之侍卫、左右皆有供禄。举国人民悉不杀生，不饮酒，不食葱蒜，唯除旃荼罗。旃荼罗名为恶人，与人别居，若入城市则击木以自异，人则识而避之，不相唐突。国中不养猪、鸡，不卖生口，市无屠、酤及估酒者。贸易则用贝齿，唯旃荼罗、猪师卖肉耳。自佛般泥洹后，诸国王、长者、居士为众僧起精舍供养，供给田宅、园圃、民户、牛犊、铁券书录，后王王相传，无敢废者，至今不绝。这一段文字异常重要，它把印度公元400 年左右在笈多王朝月护二世（超日王）统治下的中国描绘得具体而生动。高善必根据这一段文字做了如下的分析。官吏们还没有得到封建权利和权力。中国以外的土地一定要缴纳租税的，一般是收获粮食的六分之一。大概是这个帝国中心地带受到的特别优惠，赋税比较少。在农村中一定有酿酒人和负贩。农民可以来去自由，表明没有农奴制。至于供给僧众田宅、园圃、民户、牛犊等东西，怎样解释？还是一个问题。外文翻译者各有各的理解。从标准的土地馈赠来判断，馈赠的只是收租权，而不是土地所有权（见上引书，页278—279）。
除了高善必以外，所有研究印度古代史特别是笈多王朝时代的历史的学者，不管是印度的，还是其他国家的，没有一个不引用《法显传》的。我再举一个例子。印度史学家Lalmai Joshi 的《印度佛教文化之研究》（Studiesi the Buddhisti ulture ofIdia ，Motilal Baarsidass ， Delhi ，Varaasi，pata，seodrevesed ed.977）是一部非常优秀的书。著者在本书中许多地方都引用了《法显传》。比如，在页3 和页258 讲到弥勒崇拜和乌苌国的首都时，都引用此书关于陀历国的记载。在页298—299 讲到佛教在印度衰微时，引用此书关于摩头罗国的记载“有遥捕那河，河边左右有二十僧伽蓝，可有三千僧，佛法转盛。”他又引用玄奘《大唐西域记》，卷四关于秣菟罗国的记载“伽蓝二十余所，僧徒二千余人。”同一个地方，相隔几百年之后，伽蓝的数目没有变，僧人却减少了一千人，衰微的情况清晰可见。这样的例子，著者还举了一些。从上面几个简略的例子里可以看出，《法显传》对研究印度中世纪佛教，有多么重要的意义。
我还想再举两个例子。一个是印度当代著名的史学家R.S.Sharma 的《古代印度的首陀罗》（Sudras i iet Idia，Motilal Baarsidass，958）这是一部颇为著名的书，得到印度国内外学者们的广泛赞誉。在本书第七章讲农民阶级与宗教权利时，著者在四处引用了《法显传》，都是上面高善必引用的那一段。页28，引用“不食葱蒜，唯除旃荼罗”，页290—29，引用“旃荼罗潜入城市，则击木自异，人则识而避之，不相唐突”。第二个例子是Bardwell L. Smith Essays o Gupta ulture（《笈多文化论集》MotilalBaar-sidass，983）。这是一部论文集，著者不是一个人，讨论的题目也不尽相同。其中有几篇文章引用了《法显传》。页7，.L.Basham 在序言中讲到旃荼罗入城市击木自异的情况。页38，..arai 在《古代印度特别是笈多时期的宗教政策和宽容》这一篇论文中，引用了《法显传》来说明当时佛教兴隆的情况。页30、32、33 等，B.G.Gohale 在《笈多时期的佛教》这一篇论文中，引用了《法显传》来说明月护王（37—44）时期的印度佛教状况，特别是佛教寺院中研究经、律、论的情形。
除了以上四本书以外，引用《法显传》的书籍还多得很，这里无法一一列举了。
我在上面先介绍了晋宋时期中国佛教发展的情况，然后介绍了法显的生平和他对中国和世界的影响。总起来可以这样说，法显活动的两晋南北朝时期是中国佛教发展和中印文化交流的高峰时期之一。他留下的佛典译文，特别是他的《法显传》，到现在仍然保留着自己的活力，起着相当大的影响。他对促进中印两国的文化交流和人民的传统友谊，也有不可磨灭的功绩。《法显传·跋》中有几句话“于是感叹斯人，以为古今罕有。自大教东流，未有忘身求法如显之比。”法显是当之无愧的。中国人民永远不会忘掉他，印度人民也不会忘掉他。
第二十三章数学秦汉时期《九章算术》的出现，是中国古代数学体系初步形成的标志。
在此基础上，三国两晋南北朝时期的数学研究和数学教育又有了显著的发展。在这一时期撰写的数学书不下数十种，仅《隋书·经籍志》所载就有二十余种。其中如赵爽《周髀算经注》，刘徽《九章算术注》和《海岛算经》，《孙子算经》，《张丘建算经》，甄鸾《五曹算经》、《五经算术》和《数术记遗》等，都是重要的数学典籍，后被收入有名的“算经十书”而一直流传至今。南北朝时祖冲之所著《缀术》，是一部内容丰富的数学专著，可惜已经失传。这些数学著作记载了这一时期数学家在勾股算术、重差术、割圆术、圆周率、球体积公式、线性方程组解法、二次和三次方程解法、同余式和不定方程解法等方面所取得的新成果，充实和发展了以《九章算术》为代表的中国古代数学体系。特别应该提到的是，刘徽在魏陈留王景元四年（23）作《九章算术注》。他在注释中对于《九章算术》的大部分数学方法作出了相当严密的论证，对于一些概念给出了明确的解释，从而为中国古代数学奠定了坚实的理论基础。他所提出的许多新的思想、方法、原理和获得的新成果，对后世数学发展产生了积极的和深远的影响。祖冲之是刘徽以后又一位杰出的数学家。他的圆周率值，是举世公认的重大数学成就，在数学史上占有突出的地位。三国两晋南北朝时期形成了中国古代数学发展过程中继两汉之后的又一个**。
第一节勾股定理和重差术勾股定理是中国古代几何学中一个最基本的定理。在中国古代，勾股定理的一般形式a2+b2=2（a、b、 表示直角三角形的三边），最早见于《周髀算经》。《九章算术》则进一步给出计算勾股数的一组公式a b m m m ∶ ∶ ∶ ∶ = - + 2 22 2 2 2 ( ) ( )其中m∶=（+a）∶b ，这是整数论的重要成果。但是，这两部书的共同缺欠是仅有公式而没有证明。据现有记载，首先对有关勾股问题给出证明的是三国时孙吴数学家赵爽。赵爽，字君卿，约生活于公元3 世纪初，生平不详。曾为《周髀算经》撰序作注，对于书中阐述的盖天学说和四分历法作了较详尽的注释。赵爽《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》，全文五百余字并附有六幅插图（原图已失传，现传本《周髀》中的图是后人所补）。这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成就，给出并证明了有关勾股形三边及其和、差关系的二十多个命题。他的证明主要依据几何图形面积的换算关系，例如利用弦图证明公式2=2ab+（b-a）2，利用面积换算证明由勾弦差（-a）与股弦差（-b）求勾、股、弦的公式等。刘徽在《九章算术注》中更明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理。这个原理的内容是几何图形经分合移补所拼凑成的新图形，其面积（或体积）不变。刘徽根据出入相补原理证明了勾股定理，改进了勾股数的计算公式，并将其广泛应用于解决勾股容方、勾股容圆和立体体积等各种几何问题。这种简明直观具有独特风格的几何证明方法，与古希腊欧几里得几何学思想是根本不同的。
勾股测量是勾股定理的一项重要实际应用。《九章算术》中的例题表明，勾股测量是解决一些简单测量问题的有效手段。这种测量方法起源很早，传说大禹治水的时候就已经采用了。在《周髀算经》和张衡《灵宪》中也都有所论述。《周髀算经》里记载的陈子测日法，通过两次测量结果进行推算，发展了勾股测量方法。这实质上就是东汉时期的天文学家和数学家所创立的重差术。把重差术用于测算太阳的高度和距离，当然不可能得到正确的结果。但是，如果用于测量和推算远处目标的高度、深度、宽度和距离，无疑是一种有效的方法。赵爽在《周髀算经注》的《日高图注》中，利用几何图形面积的关系，给出了重差术的证明。刘徽在《海岛算经》中通过九个实例，对于重差术作了系统的总结，并且提出根据三次和四次测量结果的推算公式，用以解决复杂的测量问题。重差术是当时世界上最先进的用于测量的数学方法。中国古代绘制地图的工作取得了卓越的成就，长沙马王堆出土的西汉初期帛画地图，其精确程度就已令人叹服，后来又有所进步，这与测量数学有较高水平是分不开的。
第二节割圆术和圆周率中国在两汉之前，一般采用的圆周率是“周三径一”，即π=3。这个数值与文化发达较早的其他国家所用的圆周率相同。但是，这个数值误差很大，后来的数学家不断努力去探求更精确的结果。据公元 世纪初制造的新莽嘉量斛（一种圆柱形标准量器）推算，其圆周率值应是。世纪初，东汉天文学家张衡分别取用π 3.547 2 =730232≈ 和π ≈ 。三国时东吴王蕃取π＝ ≈ 3.4 = 3.2242450 355 . .其中最突出的是魏晋之际的杰出数学家刘徽。刘徽生活在魏晋时期，生平不详，曾作《九章算术注》九卷，另撰《重差》一卷附于《九章》之后，两者并为十卷。唐初以后《重差》另本单行，被称为《海岛算经》。此外，他还撰有《九章重差图》一卷，已失传。刘徽是中国传统数学理论的奠基者和代表人物，他的主要贡献之一是在《九章算术注》中创造了“割圆术”，为圆周率研究工作奠定了理论基础和提供了科学的算法。刘徽割圆术的基本思想是用圆内接正多边形的周长和面积逼近圆周长和圆面积。逼近的最终结果，正如他所指出的“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，即极限情形是两者完全重合。刘徽从圆内接正六边形算起，一直到求出圆内接正9 边形边长和正92 边形的面积得到π 继续求出圆内接正边形的面积得到π , , , =5750= 3.4 3072 =3927250=3.4。这两个结果是比较好的，现在还经常使用，其计算程序也比古希腊数学家阿基米德的类似方法简便得多。继刘徽之后，南北朝时祖冲之把圆周率推算到更加精确的程度。祖冲之是我国历史上最杰出的数学家、天文学家和机械发明家，本编别有传。祖冲之著有《缀术》、《九章算术注》、《大明历》、《驳戴法兴奏章》、《安边论》、《易老庄义》、《论语孝经释》、《述异记》等，《隋书·经籍志》还载有《长水校尉祖冲之集》5 卷，但大部分已失传。他的数学专著《缀术》，唐代收入《十部算经》，立于学官，要学习四年，并曾传到朝鲜、日本，但也已失传。关于圆周率问题，据《隋书·律历志》记载，祖冲之求出π的不足近似值3.4592 和过剩近似值3.45927，并确定π的真值在这两个近似值之间，即3.4592＜π＜3.45927，精确到小数七位。这是当时世界上最先进的成果，直到约一千年后才为5 世纪中亚数学家阿尔·卡西和 世纪法国数学家韦达所超过。至于他得到这两个数值的方法，一般认为是基于刘徽割圆术。祖冲之还确定了π的两个分数形式的近似值约率π ≈ ， =2273.4密率π ≈ 。这两个值都是π的渐近分数。其中约率=35533.45929227早已为阿基米德和何承天所知，密率则是祖冲之首创。密率35533553是如何得到的，有调日法术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等多 《九章算术》方田章圆田术刘徽注，见钱宝琮校点本《算经十书》（上册），中华书局，93 年版。种推测，迄今尚无定论。在欧洲，π 是世纪由德国数学家奥=3553托和荷兰工程师安托尼兹分别得到的，并通称为“安托尼兹率”。但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。为了纪念祖冲之在科学上的贡献，人们建议把密率称为“祖率”，紫金山天文台已把该台3553发现的一颗小行星命名为“祖冲之星”，莫斯科大学里刻有祖冲之的雕像，在月球背面也已有了以祖冲之的名字命名的环形山。
第三节球体积公式球体积的计算是个相当复杂的问题。在《九章算术》中，球的体积公式相当于（ 是球的直径）。这是一个近似公式，误差很大。张衡曾V =9d d 3经研究了这个问题，但没有得到更好的结果。刘徽发现了《九章算术》少广章所说的球与其外切圆柱的体积之比为π∶4 的结论是错误的，并正确指出球与“牟合方盖”（两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”）的体积之比才是π∶4，把对于球体积问题的研究推进了一大步，但他没有能够解决牟合方盖体积的计算问题。二百年后，祖冲之和他的儿子祖暅才在这个问题上取得了突破。祖暅，字景烁，曾任梁朝员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等，也是南北朝时期著名的数学家和天文学家，著有《漏刻经》一卷，《天文录》三十卷等，均已失传。有的文献记载说《缀术》也是他所著，说他还曾参加阮孝绪编著《七录》的工作。祖冲之父子推算出牟合方盖的体积等于，从而得到正确的球体积公式2 33 dV = d = 3 π ，彻底解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率π ，227因此他们的球体积公式为。祖氏父子在推导牟合方盖体积公式的V =23 d过程中，提出了“幂势既同，则积不容异”（即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等）的原理。现在一般把这个原理称为“祖暅原理”。在西方，7 世纪意大利数学家卡瓦列里重新提出这个原理，即被称为“卡瓦列里公理”，这个原理成为后来创立微积分学的重要的一步。第四节同余式和不定方程在三国两晋南北朝时期的数学著作中，《孙子算经》卷下的“物不知数问题”和《张丘建算经》卷下的“百鸡问题”，是世界著名的数学问题。《孙子算经》三卷，作者不详，约成书于公元400 年前后，《张丘建算经》三卷，作者张丘建，清河（今河北清河）人，生平不详，约成书于公元4 至485年之间。这两部著作都被收入唐代《十部算经》，立于学官，并流传至今。“物不知数问题”亦称“孙子问题”，大意是有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数余二，问该物总数共有多少？这个问题应该求解一次同余组=2（mod3）=3（mod5）=2（mod 7），答案是＝70×2+2×3+5×2-2×05=23。后来，孙子问题成为广泛流传的一种数学游戏，被称为“韩信点兵”等，并且还编有一首“孙子歌”“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”，这首歌诀暗示出问题的解法。但这不是同余式的一般解法。“孙子问题”与古代历法中推算上元积年有关，南宋数学家秦九韶创造“大衍求一术”，完满地解决了这一问题。他所得到的一次同余组解法公式，现被称为“孙子剩余定理”。
“百鸡问题”的大意是公鸡 只，值钱5 文；母鸡 只值钱3 文；小鸡3 只，值钱 文。今有00 文钱买鸡00 只，问可买公鸡、母鸡和小鸡各多少只？此题有三个未知数，仅能列出两个方程，属于不定方程问题。《张丘建算经》给出三组答案，并有一段说明文字。但是由于其中没有具体解法，因而引起种种猜测。对于中国古代如何解不定方程，至今众说纷坛，尚无定论，不定方程问题最早见于《九章算术》方程章的“五家共井”题，但术文简略，暗含限制条件，没有一般解法。北周甄鸾《数术记遗》也收录了百鸡问题，但数据与《张丘建算经》有所不同。该题应有两组答案，但他仅给出一组，并说明这类问题“不用算筹，宜以心计”，即采用试算的办法去解决。南宋杨辉《续古摘奇算法》引述了《辩古根源》（已失传）中的“百桔问题”，该题应有四组答案，书中仅列出一种，是不完全的。直到9 世纪，清代数学家才把这种类型的问题和求一术（一次同余组问题）联系起来，获得了比较完善的解法。晚于《九章算术》时代的公元3 世纪古希腊数学家丢番图，对不定方程问题进行了深入的研究，取得了非常出色的成果。5 世纪中亚数学家阿尔·卡西的“百禽问题”，与“张丘建算经”的“百鸡问题”非常类似，很有可能受到中国数学的影响。
第五节解线性方程组和解二次、三次方程《九章算术》方程章方程术，是关于线性方程组解法的重要成就。这种方法是用直除法消元，直到每行只剩下一个未知数，即可求得方程的解。但是这种方法比较繁琐，刘徽认为“举率以相减，不害余数之课”，于是创立新术，采取相应各行系数互乘后再消元的方法。刘徽的互乘相消法已和现在所用的线性方程组解法基本上一致。
在中国古代，把开各次方和解二次以上的方程，统称为“开方”。《九章算术》中已经给出了完整的开平方法和开立方法，而正系数二次和三次方程的解法，就是在开平方和开立方法的基础上自然引伸出来的。魏晋南北朝时期，解二次和三次方程又有了新的进展。如赵爽在《勾股圆方图注》中推导出（其中＞ ， ＞ ）的求根公式＝ － 。- x + ax = a 0 0 x a - a 4 2 2 2( )《隋书·律历志》在叙述祖冲之圆周率后，又说“又设开差幂，开差立，兼以正负参之，指要精密，算氏之最者也”②，据考证，这可能是指开带从平方和开带从立方法，即解一般二次方程和三次方程，也就是容许方程中有负数项。在当时，解决这类问题是比较困难的，所以说“指要精密，算氏之最者也”。
《九章算术》方程章，见钱宝琮校点本《算经十书》（上册），中华书局，93 年版。② 据钱宝琮主编《中国数学史》第89—90 页，科学出版社94 年版。
第六节实用算术和其他成就在三国两晋南北朝时期的数学著作中，还讲述了一些切合当时民生日用并且解题方法浅近易晓的实用算术知识。如《孙子算经》系统记载了算筹记数制度，筹算乘除法则和度量衡的单位名称及进制。甄鸾字叔遵，无极（今河北无极）人，曾任北周司隶大夫，汉中郡守。信佛教，尝撰《笑道论》。通天文历法，撰《天和历》，于天和元年（5）颁行。所撰数学著作《五曹算经》，分田曹、兵曹、集曹、仓曹、金曹五卷，是为地方行政官员编写的应用算术书；《五经算术》则是对儒家经籍及其古注中有关数字计算的解释；《数学记遗》题汉徐岳撰，可能是甄鸾伪托之作，其中记载了十进、万进和数穷则变的大数进位法。《数术记遗》还列举了积算、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数，共4种记数方法和相应的记数工具，多不实用，但也反映了人们改革计算工具的尝试，其中的珠算虽和后世的珠算不同，但也可能对珠算术的产生起过某种启发作用。
这一时期除上述成就外，诸如刘徽的求弓形面积方法，阳马术的证明，开方不尽求微数的十进小数思想，以及张丘建的等差级数求和、求公差及项数公式，最小公倍数的概念和应用等等，都是很有创见的贡献。
第七节刘徽的极限思想刘徽为证明《九章算术》中的各种公式，提出了“析理以辞，解体用图”的要求，并创立了对许多问题行之有效的图验法和棋验法。但是有些问题并非仅仅用棋用图就可以解决的，而是需要具备相当清楚的极限思想。
在先秦诸子的著作中就已有了极限思想的萌芽，如名家就提出过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。但先秦诸子的这类思想大多带有思辨性质，而刘徽则把极限思想和极限概念运用于解决实际的数学问题，这是极为重要的。刘徽创立割圆术，用圆内接正多边形面积逼近圆面积，用圆内接正多边形周长逼近圆周长，解决了推求圆周率精确值问题，是他应用极限思想的成功事例。他对阳马术（四棱锥体积公式）的证明也是很精彩的。这个问题虽然相当困难，但刘徽运用极限方法完满地证明了阳马（四棱锥）与鳖臑（三棱锥，亦即四面体）的体积之比为2∶，从而由堑堵（楔形）体积公式推导出阳马体积的正确公式。他处理弧田术（弓形面积公式）的作法，开方不尽时求微数的思想，以及对两立体截面积与体积关系的认识，无不与极限和无穷小分割的思想紧密地联系在一起。这些思想具有深刻的数学内涵，并且是解析几何、微积分等现代数学方法的基础。刘徽在那样早的时代就产生了这些思想并用于解决实际问题，确实是非常不简单的和难能可贵的。
第二十四章天文学三国两晋南北朝是天文学非常活跃的时期，不仅产生了一系列极为重要的新发现，而且在恒星观测、历法计算和天文仪器制造等方面也取得了不少新的成就，从而为中国天文学的进一步发展打下了良好的基础。
第一节星官体系与全天星图研究日月五星运动规律需要建立参考体系，制作浑象需要将星象缀刻在仪器上，因此天体运动的研究和天文仪器的研制，要求加强恒星观测工作并提供一种含星较多的星官体系。先秦典籍和甲骨卜辞中已记载有不少星官名称。湖北随县曾侯乙墓中出土的二十八宿漆箱盖图案，说明在公元前433 年以前已经形成了北斗二十八宿这一星官体系。汉武帝时，司马迁在《史记·天官书》中，综合以前各星占学派使用的星官，建立起一个有五宫二十八宿共计558 颗星的星官体系，这是中国古代第一个完整的星官体系。这一体系中的星官与西方天文学中的星座大同而小异。星座是指许多恒星组成的视觉图案，星官则有两个以上恒星组成的组合，也有单个的恒星，所以星官一般比星座小。在此以后，史籍中还有一些关于天文图籍和星官的零星记载，但总的说来，汉代以前对全天恒星系统的认识仅限于二十八宿及其外的某些星组。此外，社会上使用星官最多的是天文星占家。但长时间形成的不同星占学派，由于对星空的认识和占卜方法的不同，因而各自有常用的星官体系，其中最著名的是甘德、石申和巫咸三大家，于是也就有甘、石、巫咸三派星官体系。《史记·天官书》不区分三家星，在实用中不完全适合不同流派星占家的需要。在魏晋南北朝时期，根据社会需要和在前人成就基础上，对全天星名、星数进行一次总结，建立一种既能区分三家星又是统一体的新星官体系，已是必要的和条件成熟的工作。这项工作由三朝太史令陈卓完成了。陈卓大约生活在3 世纪下半叶至4 世纪初，年轻时任孙吴太史令，曾作《浑天论》，其观点与王蕃大致相同。晋灭吴后，他由吴都建邺（今南京）到洛阳，任晋太史令，后因年迈离职。3 年西晋亡，陈卓重返江东，次年在东晋都城建康（今南京）复为太史令。据《晋书·天文志》载，“武帝时，太史令陈卓总甘、石、巫咸三家所著星图，大凡二百八十三官，一千四百六十四星，以为定纪”。陈卓把当时主要的三家星汇集在一起，并同存异，编成283 官、44 颗星的星表，并绘制出总括三家星官的全天星图，还写了占赞文字。陈卓的成果对后世有很大影响，他所总结的全天星官名数一直是后世制作星图、浑象的依据，在我国历史上沿用了一千多年。我们现在见到的星图和星表，如著名的敦煌星图、苏州石刻天文图、常熟石刻天文图等，其所收星官数都未超过陈卓星图，直到明末西方星图和星表知识传入后才有所突破。另据记载，刘宋元嘉年间太史令钱乐之两次铸造浑象，将全天恒星标在浑象上，他所用的就是陈卓所定283 官44 星，并用朱、白、黑和黄、白、黑三种不同的颜色来区分三家星。陈卓也是一位大星占家，不仅为星图加注占赞词语，而且撰有《天官星占》0 卷、《万氏星经》7 卷等星占著作。陈卓的星表、星图和著作均已失传，但仍有不少材料为他人所引用，如《开元占经》中收有许多陈卓占语，在敦煌写本中还发现一首反映他的星官体系的《玄象诗》。写有《玄象诗》的敦煌卷子现存法国国家图书馆，编号分别为252 和3589 号，252 抄于唐武德四年（2），3589 卷末有“太史令陈卓撰”，可知此诗系陈卓所写。这首诗分别按石氏、甘氏和巫咸氏三段吟诵三家星，最后一段专写紫微垣。《玄象诗》是研究魏晋时期星官体系的重要资料。唐代学者王希明《丹元子步天歌》也介绍了陈卓所总结的星官体系。第二节天文仪器的研制和革新据今所知，三国时期，蜀、魏都没有制作天文仪器的记录，而孙吴则在制作仪象方面很有成就，如王蕃依据张衡旧制制成一台小型浑象，葛衡也制造一台浑象，其特点为“使地居于中，以机动之，天转而地止，以上应晷度”。天文学家陆绩还制造了一台卵形浑象。