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权，对发展巩固封建制度的统治是有积极作用的。
法治的精神更重要的，在于罚，而且是重罚。《五蠹》篇说“十仞之城，楼季（战国时魏国善于攀越的人）弗能逾者，峭也；千仞之山，跛牂易牧者，类也。故明主峭其法而严其刑也。”韩非认为，人都有量敌而进，计利避言之心，谁也不职冒着最大的危险去博取一点微利。英明的君主就应利用这种心理，实行严刑峻法，使人不敢轻易以身试法。他说“古之善守者，以其所重禁其所轻，以其所难止其所易。故君子与小人俱正，盗跖与曾、史俱廉。何以知之？夫贪盗不赴谿而掇金，赴谿而掇金则身不全；贲（孟贲）、育（夏育），不量敌则无勇名，盗跖不计可则利不成”。又说“夫严刑者，民之所畏也；重罚者，民之所恶也。故圣人陈其所畏以禁其邪，设其所恶以妨其奸，是以国安而暴乱不起。”韩非的法治在具体的政治经济措施方面，主要是提倡“耕战”。《韩非子》中虽没有专章论述，但全书却贯彻着耕战的思想，如果说，商鞅是实行耕战政策的政治活动家，那么，韩非就是宣扬耕战政策的政治理论家。他认为国家富足要靠农民，抵抗敌人要靠军队，“富国以农，距敌恃卒”，“能趋力于地者富，能趋力于敌者强”，要作到“无事则国富，有事则兵强，此之谓王资”。在他看来，耕战的政策是国富兵强的根本。不实行耕战政策，会使国家贫弱乃至危亡。他说，国家的兵弱地荒是由于“言耕者众，执耒者寡”，“言战者多，被甲者少”。“耕战之士困，末作之民利者，可亡也”。“好辩说而不求其用，滥于文丽而不顾其功者，可亡也”。②为此，他对于有害耕战政策的人攻击得非常猛烈。在《六反》篇中反对所谓贵生之士、文学之士、有能之士、辩智之士、磏勇之士、任誉之士，说他们是“奸伪无益之民”。在《五蠹》篇中斥责“称先王之道以籍仁义”的学者、讲纵横的言谈者、带剑的侠士，患御者（怕服兵役的人）和工商之民，称他们为“五蠹”。他认为君主不清除这些对耕战有损的社会害虫，国家就有破亡的危险。
韩非是一个君权至上论者。他提倡尊君，主张君主集权、**。他说“事在四方；要在中央，圣人执要，四方来效。”他认为君权集中的指导思想是法家思想，要求定法家于一尊。他激烈地批判和攻击法家以外的其他学派，特别是当时影响最大的儒家和墨家。他主张严格统治言论与思想，禁止私人著作流传和私人讲学，只准学习国家颁布的法令，只准以官吏为师，即所谓“明主之国无书简之文，以法为教；无先王之语，以吏为师；..是境内之民，其言谈者必轨于法”。在他看来，封建统治者不需要什么诸子争鸣，只需要人民成为“无二心私学，听吏从教”的顺民。韩非的这种君主**和文化**思想，是战国末年各国间走向统一，各国内部趋向君权集中的反映。世界观与认识论韩非继承和发展了荀况的思想，并改造了老子书的若干观点。他的《解老》、《喻老》两篇，是对老子书最早的注解，反映了韩非世界观富有唯物 《守道》篇。
② 《五蠹》、《心度》、《亡征》等篇。
《扬权》、《诡使》篇。
主义的方面。
韩非认为构成世界万物的是“道”。“道者，万物之所以成也。”他认为，这个“道”，“天得之以高，地得之以藏，维斗得之以成其威，日月得之以恒其光，五常得之以常其位，列星得之以端其行，四时得之以御其变气，..而功成天地，和化雷霆，宇内之物，恃之以成。”看来，他所说的“道”，不是存在于自然界万物之外，而是体现在万物之中，他所理解的“道”，不是精神性的东西，而是物质性的自然本身。
韩非又把“道”说成是自然万物的总规律，而万物各具有本身的条理，即特殊规律。“道者，万物之所然也，万理之所稽也。”“万物各异理，万物各异理而道尽。”万物之所然，是说“道”是万物之总规律；万理之所稽，是说“道”是各种特殊规律的汇集。万物各有其特殊的规律，“道”是集合万物特殊规律的总规律。因此，万物各有的特殊规律，在总合成“道”时，“道”就把一切特殊规律都包括完尽了。
韩非认为万物各异的特殊规律，是区别万物的根本。他说“凡物之有形者，易裁也，易割也。何以论之？有形则有短长，有短长则有大小，有大小则有方圆，有方圆则有坚脆，有坚脆则有轻重，有轻重则有白黑。短长、大小、方圆、坚脆、轻重、白黑之谓理，理定而物易割也。”这段话的意思是说，自然万物都有它的形状和性质短长、大小、方圆、坚脆、轻重、白黑，这些特征和属性都有其一定的道理，因此使得他们区别开来，这个使得彼此区别的标准就是“理”。
韩非说“稽万物之理，故不得不化，不得不化，故无常操，无常操，是以死生气禀焉，万智斟酌焉，万事废兴焉。”万物无时不在变化，所以总合万物之理的“道”也不能不跟着变化。由于“道”的永远不停止的变化，从而韩非认为人们的行动不要墨守成规而不知变通。这一观点和他的进化历史观是有联系的。
韩非第一次用“理”这个哲学范畴来表示自然万物均各具有特殊规律，说明人们抽象思维比过去的提高，只用“道”这一总范畴，已不能满足哲学理论的需要了。
韩非的认识论，继承了荀况的朴素唯物主义思想，认为人的认识能力是天生的一种性能。他说“聪明睿知，天也；动静思虑，人也。人也者，乘于天明以视，寄于天聪以听，托于天智以思虑。”这里所说的“天”，就是荀子在《天论》中所说的自然；“天明”、“天聪”、“天智”，也是发挥了荀子“天官”、“天君”的说法。就是说人的感觉和思维必须依赖天赋的感觉器官和思维器官。
韩非强调人们认识客观世界的可能性和必要性，认为要免除祸害，求得幸福，必须充分认识事物的规律性。他说“务致其福则事除其祸，事除其祸则思虑熟，思虑熟则得事理，得事理则必成功，必成功则其行之也不疑，不疑之谓勇。”他认为遵循着事物的规律来办事的人，没有不成功的；不认识规律，不依照事物规律而轻举妄动，就是有极大权势和财富的人，也一定遭到失败。
韩非在《解老》篇中对唯心主义的先验论所谓“前识”进行了批判。他 《解老》篇。
《解老》篇。
说先物行，先理动，之谓前识。前识者，无缘而忘（妄）意度也。何以论之？詹何坐，弟子侍，有牛鸣于门外。弟子曰“是黑牛也，而白在其题（额）。”詹何曰“然，是黑牛也，而白在其角。”使人视之，果黑牛而以布裹其角。以詹子之述，婴众人之心，华焉殆矢！故曰“道之华也。”尝试释詹子之察，而使五尺之愚童子视之，亦知其黑牛而以布裹其角也。故以詹子之察，苦心伤神，而后与五尺之愚童子同功，是以曰“愚之首也。”
韩非的所谓“前识”，就是只凭个人的主观妄想臆测，没有以客观事物作为依据的认识。在他看来，詹何的这种主观猜测的伎俩，华而不实，也很愚蠢。一个无知的孩子去实地看一下就能解决的问题，詹何却要“苦心伤神”地去主观猜想。
韩非提出检验认识是否合乎实际的“参验”方法，用以反对“前识”。
他主张“偶参伍之验，以责陈言之实”。“参”，是比较研究，“验”，是验证。“参验”，就是根据实际效果来验证言论、行为的正确与否。他说“循名实而定是非，因参验而审言辞。”②正确的言论，应该是名实的统一；实是检验名的标准。他认为使用“参验”方法，对事物进行考察、比较研究的时候，必须有客观的态度，不能有主观的成见。他重视“众端参观”。“众端参观”的意思，是对众人所说所做的事，作参验比较，观察长短得失，不偏听偏信。他认为君主听言观行如果不从多方面比较验证，就得不到真实的言行，只听亲信的话，就会遭受蒙蔽，“观听不参，则诚不闻。听有门户，则臣雍塞。”③韩非用了许多生动的事例来说明认识之正确与否，必须通过实际的功效来检验。他在《显学》篇里说，判断一把剑是否锋利，只看锻剑时掺锡多少和火焰的颜色，就是铸剑的能手欧治也难做到。但用铸成的剑去宰杀动物，那就随便什么人都能分辨出它的利钝。挑选好马，只看马的岁口、形状，就是善相马的伯乐也未必能判定马的优劣，可是，只要实地让它驾一次车，那就是普通人都能分别出马的优劣了。因此，他接着说“观容服，听辞言，仲尼不能以必士；试之官职，课其功伐，则庸人不疑于愚智。”他在《六反》篇说，当人们都在睡眠的时候，无法分辨出谁是盲人；人们都在静默的时候，无法区别出谁是哑。可是，只要叫他们看东西，提问题让他们回答，盲人和哑的缺陷便都无法掩饰了。韩非认为判断一个人的言论和行动是否正确，不能只凭他自己说的话，也不是只凭争论可以解决的，而一定要根据他言行的实际效果去判断，所谓“明主听其言必责其用，观其行必求其功，然则虚旧之学不谈，矜诬之行不饰矣。”
韩非发展了前期法家正视现实的改革精神，强调以实际功用和效果检证知识的真伪，否定无用的争辩。他在《五蠹》篇里说，现在的君主喜欢听花言巧语而不追究它是否合乎实际，对人的使用，欣赏他的虚名而不追究做事的功效。因此天下的“谈言者”，总是夸夸其谈，而不切合实用。所以称颂先王、高谈仁义的人充满朝廷，而政治仍然不免于乱。他认为，改变这种风 《备内》篇。
② 《奸劫弑臣》篇。
③ 《内储说上》篇。
气的办法是使“境内之民，其言者必轨于法，动作者归之于功，为勇者尽之于军”。看来，韩非的认识论是为他的法治学说提供论据。在《孤愤》篇里，还表现出他对旧贵族的抗争。他指出贵族以学士的空谈作为替自己辩护的工具，“学士为之谈”，而“贵重之臣”又以“毁诬之言”阻碍“智术能法之士”与君主接近，从而“智术能法之士”和“贵重之臣”便形成“不可两存之仇”。韩非认为，要解决这种不可两立的矛盾，必须清除那些维护贵族的没有经过参验的“愚诬之学”，唾弃那些“微妙之言”。
韩非的参验方法，用来考察一般认识的真假，特别是他以自然界客观存在的事实作为参验的根据，是具有朴素唯物主义精神的。但他把法令作为考察政治上言行是非的标准，则又趋向了唯心主义。他认为，判断言行是非，要经过参验，而参验的标准是法令，符合法令的言行就是对的，违反法令的言行都是错误的。“明主之国，令者，言最贵者也；法者，事最适者也。言无二贵，法不两适，故言行而不轨于法令者必禁。”君主公布的法令，在当时虽然有它的进步性，但它是统治阶级意志的表现，是压迫人民的工具，它并不能反映政治上的真理，当然也不能做为参验的标准。韩非把参验的认识论庸俗化，使参验成为推行法令的手段。
韩非是战国末年法家思想的集大成者，也是我国古代一个卓越的思想家，他积极倡导的**主义理论，为秦的统一提供了理论基础，对以后两千多年的政治，发生了深远的影响。韩非思想中的进步性和反人民性并存于他的具有矛盾的思想体系中。他只看见争取国君、打击旧贵族以满足封建地主阶级的要求，而没有照顾到其他阶级，如工商业者，特别是广大农民阶级的要求。
《问辩》篇。
第三节吕不韦生平事迹吕不韦，生年不详，死于公元前235 年，濮阳（今河南濮阳县）人，后来到韩国经商，成了家累千金的阳翟大贾人②。
秦昭王四十二年（公元前25 年），安国君为秦太子。安国君有子二十余人，中男名子楚。子楚母夏姬不喜欢他，使他为秦质子于赵。子楚在赵为质期间，由于秦数攻赵，子楚在赵没有受到礼遇，车乘进用不饶，居处困。吕不韦恰巧到邯郸做生意，见到子楚，认为“此奇货可居”。他要用金钱资助子楚，帮助他谋取王位继承人的资格。他回家跟父亲说“耕田之利几倍？”父亲说“十倍”。“珠玉之赢几倍？”父亲说“百倍。”“立国家之主赢几倍？”父亲说“无数。”他说“今力田疾作，不得暖衣余食，建国立君，泽可遗世。愿往事之。”吕不韦的父亲同意了儿子的看法。从此，吕不韦便弃商，从事政治活动。
吕不韦了解到安国君宠幸华阳夫人，华阳夫人无子，而能立嫡嗣者又独华阳夫人。吕不韦以五百金与子楚，为进用，结宾客。他又以五百金买奇物玩好，自奉而西游秦，求见华阳夫人姊，而皆以其物献华阳夫人。因言子楚贤智，结诸侯宾客遍天下，常曰“楚也以夫人为天，日夜泣思太子及夫人。”夫人大喜。于是，吕不韦因使华阳夫人之姊，进一步劝说夫人立子楚为嗣“今子楚贤，而自知中男地，次不得为嫡，其母又不得幸，自附夫人。夫人诚以此时拔以为嫡，夫人则竟世有宠于秦兵。”华阳夫人认为说得对，因求立子楚为嫡王，安国君许之，决定以子楚为王位的继承人。秦昭王五十年（公元前257 年），子楚与吕不韦归秦②。秦昭王五十六年（公元前25 年）卒，孝文王（即安国君）为王，立子楚为太子。第二年，孝文王卒，子楚立，是为庄襄王。”庄襄王元年，以吕不韦为丞相，封文信侯，食河南洛阳十万户。”③庄襄王三年（公元前二四六年）卒，太子政立为秦王，就是后来的秦始皇，尊吕不韦为相国号称“仲父”。吕不韦从庄襄王元年（公元前249 年）起，到秦王政十年（公元前37 年）止，当丞相的时间共有十三年。秦王政继承王位时，只不过十三岁，事实上很多重大的政治、军事活动都是由吕不韦替他完成的。在这期间秦对六国的战争取得了不少次的胜利，为统一六国增强了更大的优势。
《吕氏春秋》《汉书·艺文志》著录杂家言二十家四百三篇，《吕氏春秋》是其中很② 以下凡未注明出处的，均见《史记·吕不韦列传》。
《史记》言不韦先说华阳夫人姊，而《战国策·秦策五》则谓不韦所说乃秦王后弟阳泉君。《史记》载不韦入秦在秦昭王时，《秦策五》记不韦游秦已当孝文王世。
② 《史记》说子楚冲破邯郸之围，脱亡赴秦军，而《秦策五》乃王后请之赵，赵自遣之。③ 《秦策五》“食蓝田十二号。”《史记索引》《秦本纪》庄襄王元年初置三川郡，《地理志》高祖更名河南。此秦代而曰河南，《史记》后作，据汉郡而言之耳。《战国纵横家书·李园谓辛梧章》记，吕不韦在燕、赵之间也有封邑。
重要的一部书，也是这一类书的创始者。《艺文志》说，《吕氏春秋》有二十六篇，自注曰“秦相吕不韦辑智略士作”，“兼儒、墨，合名法”。《吕氏春秋》确是“兼”“合”“诸子百家”各派学说编集而成的一部著作。据《吕氏春秋·序意》记，书成于秦王政八年。
《史记》曾记书的缘起经过时，吕不韦为秦相国当是时，魏有信陵君、楚有春申君、赵有平原君、齐有孟尝君，皆下士喜宾客以相倾。吕不韦以秦之强，羞不如，亦招致士，厚遇之，至食客三千人。是时诸侯多辩士，如荀卿之徒，著书布天下。吕不韦乃使其客人人著所闻，集论以为八览、六论、十二纪，二十余万言。以为备天地万物古今之事，号曰《吕氏春秋》。布咸阳市门，悬千金其上，延诸侯游士宾客有能增一字者予千金。
《史记·十二诸侯年表》说“吕不韦者，秦庄襄王相，亦上观尚古，删拾《春秋》，集六国时事，以为八览、六论、十二纪，为《吕氏春秋》”。“八览”是全书的开头，故《吕氏春秋》又名《吕览》。
今存本《吕氏春秋》的目次为十二纪、八览、六论，共二十六篇。每篇各有子目，合计子目共百六十篇。
《吕氏春秋》想把诸子的学说统一起来。《不二》说“夫齐万不同，愚智工拙皆尽力竭能，如出乎一穴。”《用众》（一作《善学》）说“物固莫不有长，莫不有短，人亦然。故善学者，假人之长以补其短。”它举了一个通俗的例子说“天下无粹白之狐，而有粹白之裘，取之众白也。夫取于众，此三皇五帝之所以大立功名也。”
《吕氏春秋》兼畸儒、道，其中又较倚重于道家。《序意》维秦八年（即秦王政即位八年），岁在涒滩，秋甲子朔。朔之日，良人（君子）请问十二纪。文信侯曰尝得学黄帝之所以诲颛顼矣，爰［曰］“有大圜在上，大矩在下，汝能法之，为民父母。”盖闻古之清世，是法天地。凡十二纪者，所以纪治乱存亡也，所以知寿夭吉凶也。上揆之天，下验之地，中审之人。若此，则是非可不可无所遁矣。天曰顺，顺维生；地曰固，固维宁；人曰信，信维听（圣）。三者咸当，无为而行。行也者，行其理也。行（其）数，循其理，平其私。夫私视使目盲，私听使耳聋，私虑使心狂，三者皆私设，精（甚）则智无由公；智不公，则福日衰，灾日隆。
尽管《吕氏春秋》是吕不韦“使其客人人著所闻”而“集论”成功的，但《序意》既冠以“文信侯曰’，即使不出于吕不韦自己的手笔，也必然经过他的同意，从而《序意》无疑是有他的见解。文中“法天地”的思想，“天曰顺，顺维生；地曰固，固维宁；人曰信，信维圣；三者咸当，无为而行”的思想，以及“行其数，循其理，平其私”，以达到崇“公”的思想，都是所谓黄老道德思想。这一思想在书中有多处阐述。
《吕氏春秋》在政治思想上有因袭儒家的地方，赞成儒家的修身、齐家、治国、平天下的理论，反对家天下，讴歌禅让。《执一》说“为国之本在于为身。身为而家为，家为而国为，国为而天下为。故曰以身为家，以家为国，以国为天下。”《似顺》说“世主之患，耻不知而矜自用，好愎过而恶听谏以至于危。”《贵公》“天下非一人之天下也，天下人之天下也。” 以下引《吕氏春秋》均只注篇名。
这些明显是跟秦王政的思想相反的。《吕氏春秋》主张继续分封诸侯，保持贵族制度。《慎势》说“观于上世，其封建众者其福长，其名彰。”战国末年消灭诸侯割据走向统一，是当时的趋势。主张分封诸侯的观点是倒退的，也违反秦国一向崇尚法治的思想。但它又主张政治上的统一，《谨听》说“乱莫大于无天子”，《执一》说“军必有将，所以一之也；国必有君，所以一之也；天下必有天子，所以一之也；天子必执一，所以专之也。一则治，两则乱。”这些又是法家思想。《察今》说“故治国，无法则乱，守法而弗变则悖；悖乱不可以持国。世易时移，变法宜矣。”这是很显明的法家思想。《义赏》说“赏罚之柄，此上之所以使也。其所以加者义，则忠信亲爱之道彰。”法家的赏罚跟儒家礼义揉合在一起，它的政治、道德思想是儒法兼而有之。
《上德》说，“为天下及国，莫如以德，莫如行义，以德以义，不赏而民劝（劝善），不罚而邪止，此神农黄帝之政也。”这是把儒家“德”的政治思想跟道家结合起来。道家非乐，所谓“五音令人耳聋”。儒家则非常重视音乐的教化作用。《大乐》“音乐之所由来者远矣，生于度量，本于太一”，意谓“道”是音乐产生的本源，也是把道家儒家揉合在一起。
《孟冬纪》下面，编入《节葬》、《安死》两篇，是企图将儒家的“孝亲”跟墨家的“节葬”调和起来。在名实关系上，《审应》说“取其实以责其名，则说者不敢妄言。”《审分》“按其实而审其名，以求其情；听其言而察其类，无使放悖。”这些皆采纳了唯物论者在名实关系的观点。《吕氏春秋》对于阴阳家的《月令》很重视，它把“月令”作为十二纪的架子，而十二纪是全书的主要部分。《月令》分“孟春之月”等十二月，即分春、夏、秋、冬四季，每季又分孟、仲、季三月。
《吕氏春秋》所说的采纳各家之长，说不上是对各家学说的批判继承和总结，提出新的思想体系，只是把各家学说，拼凑调和起来。因书成于众人之手，不免有所重复、抵牾。明显有重复的，如吴起被王错陷害，由西河出走的故事，重复出现于《长见》、《观表》两篇，而且文字大体相同。重复的还有《节葬》与《安死》，《去尤》与《去宥》，《应同》与《召类》等都是一意而分成两篇。如《应同》与《召类》两篇内容都是讲天人感应之说，而内容自相矛盾。如《大乐》反对墨子的非乐，《振乱》反对墨子“非攻”、“救守”，而《当染》却又以墨子的观点立论。
战国末年，随着政治统一趋向的明显而产生了《吕氏春秋》这部企图调和诸子的著作。但它又存在不少的矛盾。它既主张统一，又主张分封，并反对君主**。《恃君览》“置君，非以阿君也。置天子，非以阿天子也。置官长，非以阿官长也。”这种思想是跟秦王政的思想对立的。
《吕氏春秋》保存了许多古代遗文佚事，有较高的史料价值，特别是保存了不少有关农业技术的记载，是宝贵的文献。
第十五章数学、天文学、气象学、地学第一节数学数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。原始数学知识是从人类生产和生活的需要中产生的。由于农业和手工业规模的扩大，货物交换的繁荣，尤其是丈量土地、建筑房屋、兴修水利、制造器皿、制定历法等实践活动，迫切需要相应的数学方法和计算技能，从而推动了数学的发展。从远古到春秋战国时期，在中国数学史上具有深远影响和世界意义的杰出成就，主要有下列几项（）创造十进位置制记数法，（2）发明算筹和筹算，（3）发明规矩，（4）发现勾股定理和创立勾股测量方法，（5）创立早期的数学教育制度。
数学的萌芽远古上古时代，人们最初仅能分辨多少和大小，而数量与形状是与具体事物联系在一起的。经过长期反复的实践，人们逐渐积累了大量关于事物数量和物体形状的知识，终于从事物的具体属性中，抽象出纯粹的数与形的原始概念，实现了认识史上的一次巨大飞跃。传说“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”，由绳结多少表示事物数量的多少，这是文字产生以前的原始记数方法。“契”指的是刻划。在仰韶文化及年代稍晚的马家窑文化等遗址中出土的陶器上，有五十多种刻划符号，其中如Ｉ（）、Ⅱ（2）、Ⅲ（3）、■（4）、■（5）、∧（）、十（7）等，很可能是我国最早的记数符号。从远至河套人的骨器到仰韶文化的彩陶，大量器物上绘有直线、折线、平行线、三角、弧、圆、方、菱形、五边形、六边形、各种对称图形以及一些相当复杂的几何图案；许多器物制成柱、锥、球等规整的几何形状；在西安半坡遗址，发现有圆形和正方形房屋基地，因此当时必定存在某种确定方圆的简单方法。这些都反映出远古人们已经有了一定程度的抽象形体概念和粗浅的几何知识。
文字记数法文字产生以后，相应出现了明确的十进制记数法。在殷周甲骨文卜辞里，已有表示基本数目的专用文字—（）、＝（2）、■（3）、■（4）、Ⅹ（5）、■或∧（）、十（7）（8）、九（9），｜（0）。00 是“■”或“■”，000 是“■”，0000 是“■”。大于0 的自然数采用十进制。记多位数用合文，如■表示40，■■■■表示25。甲骨文记录的最大数字是三万。在西周铜器铭文中，个别记数文字，虽然有所变化，但整个记数系统仍然采用十进制。汉代以后，记数文字已经与现代基本一致了。此外，殷商就已使用的0 循环的干支纪年纪日法，一直沿用至今。在《周易》中，用阳爻（—）和阴爻（—）两种符号排列而成的八卦，六十四卦，体现了二进制的思想，也得到了自莱布尼茨（G·W·Leibiz，4—7）以来许多学者 《易·系辞》。
的高度评价。
算筹和筹算算筹和筹算的发明，是中国古代数学的重大成就，其出现不会晚于西周。算筹是一种特制的小竹棍，也有用木、骨、铁等材料制做的，在中国古代曾长期作为记数和计算的工具。算筹一般都盛放在算子筒里，出外时则装在一个特制的丝袋（称为“算袋”）里，佩带于使用者的腰部。《汉书》记载“其算用竹，径一分，长六寸”，《隋书》则说“其算用竹，广二分，长三寸”②，这可能说明算筹随着时代不同而变短变小，这样使用起来更加方便。97 年8 月，陕西千阳西汉墓中出土了骨质算筹。这些细长圆柱形的算筹，两头齐整，粗细比较均匀，大多长度为3.5 厘米，直径平均为0.3 厘米，按古尺折算，其形制与《汉书》记载基本相符。用算筹表示数字，有两种摆法算筹记数法则是“一纵十横，百立千僵。千，十相望，万，百相当。..”，把同一个数码放在十位就代表几十，放在百位就代表几百，并且纵横两式交错放置，以免混淆。用空位表示零。如插图上筹式表示数字97。
这是很完备的十进位置制记数法。这种记数方法简单明确，一目了然，易于掌握，用一些竹筹即可表示任何数字，其优越性是十分明显的。到了汉代，还出现了用红色算筹表示正数和用黑色算筹表示负数的方法。世界上一些文化发达较早的国家也分别采用过十进制和位置制。例如，古巴比伦人采用位置制，但用的是六十进制。中美洲的马雅人也知道位置制的道理，而用的是二十进制。在罗马数字中，5 的符号是Ⅴ，左边放上，是4（Ⅳ），右边放上 是（Ⅵ）。0 的符号是Ⅹ，而Ⅸ表示9，Ⅺ表示。至于百、千、万又各有符号。用这种记数法表示较大数目相当复杂。古希腊用27 个希腊字母相互配合才能表示000 以内的数目，也非常繁琐。古埃及使用的记数法是十进制，但不是位置制。既用十进制又用位置制的记数法，以中国为最早，据现有资料，一直到公元六七世纪，印度才采用十进位置制记数法，而其他国家更要晚得多。十世纪后，印度的十进位置制数码经阿拉伯传入地中海国家和西欧各国，并被称为“阿拉伯数码”。实际上，现在世界通用的十进位置制记数法很可能起源于中国。
用算筹进行计算，叫做筹算。算筹和筹算究竟产生于什么时代，由于缺乏资料，现在还无法肯定。甲骨文中有些记数文字类似于算筹的摆法。西周时期，数学是贵族子弟必修的科目之一。而早在春秋时期，乘法表（即古代乘法口诀，从九九八十一开始，到一一如一为止，亦称“九九”）就已经成为十分普通的常识。根据这些情况来看，算筹记数和简单的四则运算，很可能在西周时期就已产生了。一直到十三世纪的元朝，珠算法逐渐推广之前， 《汉书·律历志》。
② 《隋书·律历志》。
《孙子算经》。
筹算制度沿用了两千多年。中国古代数学的许多辉煌成就，正是在筹算的基础上取得的。
规矩和勾股定理我国很早就发明了简单方便的绘图工具和测绘仪器——规和矩。《史记》记载夏禹治水时“左准绳，右规矩”，反映了规、矩、准、绳作为测量和绘图工具在兴修水利时所受到的重视程度。古代的“规”相当于圆规，“矩”类似木工用的曲尺。在甲骨文中就已经有了规和矩两个字。“规”字是手执规画圆的样子（■），“矩”字写作匚。汉代的许多画象砖石，绘有伏羲执矩，女娲执规的图象，从中可以看出古代规和矩的基本形制。在与“矩”有关的记载中，最重要的命题就是勾股定理（直角三角形的两条直角边平方之和等于斜边的平方）。勾股定理是我国早期数学史上最重大的发现之一。《周髀算经》记载，西周初期周公与商高讨论天文学问题时提到“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”，即勾股形三边之比为3∶4∶5，这是特殊形式的勾股定理。此外，该书还提到“环矩以为圆”的性质。《周髀算经》约成书于公元前一世纪，时代较晚。因此，有人怀疑该书所记周公与商高问答的可靠性。当然，有关勾股定理的发现时代问题，还需要更多的佐证。但联系到中国远古时代水利与建筑工程的复杂程度与所需的测量知识，那么，我国很早就发现了一般形式的勾股定理，这是勿庸置疑的。规可以作圆和弧，矩可以作直线和直角。据《周髀》记载，矩在测量方面的用法是“平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远”，即利用矩的不同摆法根据勾股形对应边成比例的关系，可以确定水平和垂直方向，测量远处物体的高度、深度和距离。
数学知识的丰富和提高春秋战国时期，百家争鸣，学术繁荣。废除井田，履亩而税，需要丈量土地面积，建筑城堡，兴修水利，计算人工，需要知道体积和比例分配，制订历法，制造器皿，需要认识部分与整体关系和掌握分数概念。因此，数学也获得了相应的发展，特别是更加充实了有关分数、比例、面积和体积等方面的数学知识。古四分历法和乐律计算中的“三分损益法”，要用到分数， ， 。当时不少文献中也都记载了有关分数的资料。如“十分寸之一 32 3 4谓之枚’②，即“枚”等于十分之一寸；“兵矢、田矢五分，二在前，三在后”③等。据记载，齐国的标准量器“鬴”， 《史记·夏本纪》。
《周髀算经》。
② 《考工记》。
③ 《考工记》。
应合升，而每升容积为立方寸。一直流传至今的秦国标准量器“商鞅量”，其容积为立方寸。战国时各自为政，各地区的度量衡制彼此45558不同，并且也不全是十进制。一直到秦始皇时才进行统一度量衡的工作，并基本上采用了十进制的度量衡单位。在《考工记》里，还出现了初步的角度概念。其中以“倨勾”二字表示角，这类似于用“多少”表示数量，用“长短”表示长度。“倨”是钝角，“勾”是锐角。直角叫做“倨勾中矩”或简称“一矩”，等于90°。“宣”相当于45°，“■”相当于7°30′，“柯”相当于0°5′，等等。此外，《考工记》中还提到筑氏为削，“合六而成规”，“削”是圆弧形的刀，六件“削”可以拼成一个圆周；天子之弓，“合九而成规”；诸侯之弓，“合七而成规”。这些都说明对于由矩发展而来的角度概念，已经有了新的认识。公元前六世纪，楚国令尹筑沂城，晋国士弥牟设计修建成周城，都测算过城墙的长度、宽度和高度，计算了城墙和沟洫的土石方量、工程期限、所需的人工物料、劳动力往返里程及需用粮食数量等。如《左传》记载，“士弥牟营成周，计丈数、揣高卑，度厚薄，仞沟洫，物土方，议远迩，量事期，计徒庸，虑材用，书糇粮，以令役于诸侯，..。由于整个工程计划周密，分工明确，因而很快完成了筑城任务。显然，这一时期已经掌握了有关简单几何形体的体积计算和解决比例分配问题的数学方法。
数学思想的深化在这一时期，墨家、名家及其他学派，还总结和提炼出许多抽象的数学概念和合乎逻辑的命题，反映了这一时期数学思想的深化和力图进行理论研究的尝试。例如，在《墨经》中载有墨家给一些几何概念所下的比较严格的定义圆，“一中同长也”；平，“同高也”②；直，“参也”③，用三点共线定义“直”；同长，“以正相尽也”④，定义线段相等；中，“同长也”⑤，定义线段中点；方，“柱隅四匝也”定义正方形或矩形。此外，《墨经》中还有关于点、线、面、体及它们之间相互关系的说明。墨经中还提出，“一少于二而多于五，说在建位”⑦， 比2 小，但却比5 大，其原因在于数位的不同，这里显然指的是位置制记数法。稍后于墨子的庄子，记述了惠施等人的学说，其中如“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”⑧，涉及到无穷的概念，说明名家对于无穷大和无穷小已有较深刻的认识。在《庄子》中， 《左传》，昭公三十二年。
《墨子·经上》。
② 《墨子·经上》。
③ 《墨子·经上》。
④ 《墨子·经上》。
⑤ 《墨子·经上》。
《墨子·经上》。
⑦ 《墨子·经下》。
⑧ 《庄子·天下篇》。